Calcule a área delimitada pela curva y = f(x) e o eixo x no intervalo indicado em cada caso:
(a) f(x) = e^x - 1, em [0, e];
(b) f(x) = cos(x), em [-pi/2, 0];
© f(x) = sen(x), em [0, pi];
(d) f(x) = x^2 - 1, em [-1, 1];
(e) f(x) = x^2 - x, em [-1, 3];
(f) f(x)=(x+1)/(x-2),em [-2, 1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A gente precisa calcular a área que está entre a curva e o eixo no intervalo de de 0 a . Isso envolve um pouco de cálculo de integrais, então vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e saber identificar os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. A função é uma exponencial deslocada para baixo em 1 unidade. Queremos encontrar a área entre essa curva e o eixo de até .

Passo 3

Para calcular essa área, usamos a integral definida. A integral de de a nos dá a área entre a curva e o eixo nesse intervalo. A fórmula é:
Á
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos então configurar a integral:
Á
Isso significa que precisamos integrar e separadamente.

Passo 5

Sabemos que:
e
Então, a integral completa fica:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a :
Á

Resposta

A área delimitada pela curva e o eixo no intervalo de a é .

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