Calcule a área delimitada pela curva
e o eixo
no intervalo indicado em cada caso:
(a)
, em
;
(b)
, em
;
©
, em
;
(d)
, em
;
(e)
, em
;
(f)
,em
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A gente precisa calcular a área que está entre a curva
e o eixo
no intervalo de
de 0 a
. Isso envolve um pouco de cálculo de integrais, então vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e saber identificar os limites de integração corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. A função
é uma exponencial deslocada para baixo em 1 unidade. Queremos encontrar a área entre essa curva e o eixo
de
até
.
Passo 3
Para calcular essa área, usamos a integral definida. A integral de
de
a
nos dá a área entre a curva e o eixo
nesse intervalo. A fórmula é:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos então configurar a integral:
Isso significa que precisamos integrar
e
separadamente.
Passo 5
Sabemos que:
e
Então, a integral completa fica:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a
:
Resposta
A área delimitada pela curva
e o eixo
no intervalo de
a
é
.
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Decida sobre a verdade ou falsidade das seguintes afirmações:
(a) A área da região do plano limitada pelo gráfico de , a reta
, o eixo
e o eixo
e a seguinte integral:
.
(b) A área da região do plano limitada pelo gráfico de e o eixo
para
e a seguinte soma de integrais:
(a) A área da região do plano limitada pelo gráfico de
(b) A área da região do plano limitada pelo gráfico de
© A área limitada pelas curvas
e
é a seguinte integral:
.
Calcule a área limitada pelo eixo
e o gráfico de