Calcule a área limitada pelo eixo
e o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área que fica entre o eixo
e o gráfico da função
no intervalo de
até
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais definidas, que nos ajudam a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular a área sob uma curva entre dois pontos, usamos a integral definida. A integral de
de
até
nos dá exatamente essa área. Então, neste caso, queremos calcular:
Passo 3
Agora, observamos a função
. Para facilitar a integração, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Com essa substituição, vamos reescrever a integral. Sabemos que
e
. Assim, a integral fica:
Passo 5
Ops! Notamos que ao substituir os limites de integração, quando
,
, e quando
,
. Isso significa que os limites se tornam 0 a 0, o que nos dá uma área nula. Mas isso não faz sentido, então precisamos verificar nossa substituição.
Passo 6
Na verdade, existe um erro na substituição dos limites. Vamos reavaliar:
- Quando
, - Quando
,
Mas, entree , varia de 0 a 1 e volta para 0. Para evitar essa confusão, vamos integrar de a e depois de a , já que a função é simétrica.
Passo 7
Vamos calcular a integral de
a
:
Com
,
, o que resulta em:
Passo 8
Agora, para resolver
, usamos a integração por partes, onde:
-
e - Então,
e
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 9
Aplicando os limites de
a
:
Passo 10
Como a função é simétrica no intervalo
a
, a área total será o dobro do valor que encontramos:
Resposta
A área limitada pelo eixo
e o gráfico da função no intervalo de
a
é igual a
unidades de área.
Exercícios relacionados
Decida sobre a verdade ou falsidade das seguintes afirmações:
(a) A área da região do plano limitada pelo gráfico de , a reta
, o eixo
e o eixo
e a seguinte integral:
.
(b) A área da região do plano limitada pelo gráfico de e o eixo
para
e a seguinte soma de integrais:
(a) A área da região do plano limitada pelo gráfico de
(b) A área da região do plano limitada pelo gráfico de
© A área limitada pelas curvas
e
é a seguinte integral:
.
Calcule a área delimitada pela curva
e o eixo
no intervalo indicado em cada caso:
(a) , em
;
(b) , em
;
© , em
;
(d) , em
;
(e) , em
;
(f) ,em
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Determine uma primitiva da função.
- (a)
(b)
Determine uma primitiva da função.
- (a)
(b)