Calcule a área limitada pelo eixo e o gráfico de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área que fica entre o eixo e o gráfico da função no intervalo de até . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais definidas, que nos ajudam a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular a área sob uma curva entre dois pontos, usamos a integral definida. A integral de de até nos dá exatamente essa área. Então, neste caso, queremos calcular:
Á

Passo 3

Agora, observamos a função . Para facilitar a integração, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é .

Passo 4

Com essa substituição, vamos reescrever a integral. Sabemos que e . Assim, a integral fica:
Á

Passo 5

Ops! Notamos que ao substituir os limites de integração, quando , , e quando , . Isso significa que os limites se tornam 0 a 0, o que nos dá uma área nula. Mas isso não faz sentido, então precisamos verificar nossa substituição.

Passo 6

Na verdade, existe um erro na substituição dos limites. Vamos reavaliar:
  • Quando ,
  • Quando ,
    Mas, entre e , varia de 0 a 1 e volta para 0. Para evitar essa confusão, vamos integrar de a e depois de a , já que a função é simétrica.

Passo 7

Vamos calcular a integral de a :
Com , , o que resulta em:

Passo 8

Agora, para resolver , usamos a integração por partes, onde:
  • e
  • Então, e
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 9

Aplicando os limites de a :

Passo 10

Como a função é simétrica no intervalo a , a área total será o dobro do valor que encontramos:
Á

Resposta

A área limitada pelo eixo e o gráfico da função no intervalo de a é igual a unidades de área.

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Decida sobre a verdade ou falsidade das seguintes afirmações:
(a) A área da região do plano limitada pelo gráfico de , a reta , o eixo e o eixo e a seguinte integral: .
(b) A área da região do plano limitada pelo gráfico de e o eixo para e a seguinte soma de integrais:
© A área limitada pelas curvas e é a seguinte integral: .
Calcule a área delimitada pela curva e o eixo no intervalo indicado em cada caso:
(a) , em ;
(b) , em ;
© , em ;
(d) , em ;
(e) , em ;
(f) ,em .
Determine uma primitiva da função.
  1. (a)
    (b)
Determine uma primitiva da função.
  1. (a)
    (b)