Decida sobre a verdade ou falsidade das seguintes afirmações:
(a) A área da região do plano limitada pelo gráfico de , a reta , o eixo e o eixo e a seguinte integral: .
(b) A área da região do plano limitada pelo gráfico de e o eixo para e a seguinte soma de integrais:
© A área limitada pelas curvas e é a seguinte integral: .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três afirmações que relacionam áreas de regiões no plano com integrais específicas. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de áreas usando integrais definidas. Para resolver, vamos precisar saber como calcular a área entre curvas e entender como as integrais representam essas áreas.

Passo 2

Afirmação (a): A área da região do plano limitada pelo gráfico de , a reta , o eixo e o eixo é dada pela integral .
Vamos ver se essa integral realmente representa a área dessa região.
Primeiro, desenhemos as curvas:
  • é uma reta que cruza o eixo em e o eixo em .
  • é uma linha vertical.
  • Os eixos e são as referências.
A região limitada por essas curvas vai de a . No intervalo de a , está abaixo do eixo , e de a , está acima.
A integral calcula a área líquida, ou seja, subtrai a área onde a função está abaixo do eixo da área onde está acima. Porém, como queremos a área total sem considerar sinais (área sempre positiva), essa integral não representa corretamente a área total.

Passo 3

Afirmação (b): A área da região do plano limitada pelo gráfico de e o eixo para é dada pela soma das integrais:
Primeiro, encontramos onde corta o eixo :
Daí, sabemos que de a , a função está abaixo do eixo (valores negativos), e de a , está acima.
A integral transforma os valores negativos em positivos, representando a área entre e . Já a integral calcula a área diretamente onde a função está acima.
Portanto, a soma dessas integrais realmente representa a área total da região descrita.

Passo 4

Afirmação ©: A área limitada pelas curvas e é dada pela integral:
Vamos verificar isso. Primeiro, encontramos os pontos de interseção das duas curvas:
Assim, a área está entre e .
Agora, identificamos qual curva está acima da outra nesse intervalo. Por exemplo, para :
Então, está acima de .
A área correta seria:
A integral dada, , é o oposto da expressão correta. Portanto, ela não representa a área corretamente.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Verdadeira.
© Falsa.

Exercícios relacionados

Calcule a área delimitada pela curva e o eixo no intervalo indicado em cada caso:
(a) , em ;
(b) , em ;
© , em ;
(d) , em ;
(e) , em ;
(f) ,em .
Exercício do livro
Calcule a área limitada pelo eixo e o gráfico de
Determine uma primitiva da função.
  1. (a)
    (b)