Decida sobre a verdade ou falsidade das seguintes afirmações:
(a) A área da região do plano limitada pelo gráfico de
, a reta
, o eixo
e o eixo
e a seguinte integral:
.
(b) A área da região do plano limitada pelo gráfico de
e o eixo
para
e a seguinte soma de integrais:
© A área limitada pelas curvas
e
é a seguinte integral:
.
(a) A área da região do plano limitada pelo gráfico de
(b) A área da região do plano limitada pelo gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três afirmações que relacionam áreas de regiões no plano com integrais específicas. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de áreas usando integrais definidas. Para resolver, vamos precisar saber como calcular a área entre curvas e entender como as integrais representam essas áreas.
Passo 2
Afirmação (a): A área da região do plano limitada pelo gráfico de
, a reta
, o eixo
e o eixo
é dada pela integral
.
Vamos ver se essa integral realmente representa a área dessa região.
Primeiro, desenhemos as curvas:
-
é uma reta que cruza o eixo em e o eixo em . -
é uma linha vertical. - Os eixos
e são as referências.
A região limitada por essas curvas vai de
a
. No intervalo de
a
,
está abaixo do eixo
, e de
a
, está acima.
A integral
calcula a área líquida, ou seja, subtrai a área onde a função está abaixo do eixo
da área onde está acima. Porém, como queremos a área total sem considerar sinais (área sempre positiva), essa integral não representa corretamente a área total.
Passo 3
Afirmação (b): A área da região do plano limitada pelo gráfico de
e o eixo
para
é dada pela soma das integrais:
Primeiro, encontramos onde
corta o eixo
:
Daí, sabemos que de
a
, a função está abaixo do eixo
(valores negativos), e de
a
, está acima.
A integral
transforma os valores negativos em positivos, representando a área entre
e
. Já a integral
calcula a área diretamente onde a função está acima.
Portanto, a soma dessas integrais realmente representa a área total da região descrita.
Passo 4
Afirmação ©: A área limitada pelas curvas
e
é dada pela integral:
Vamos verificar isso. Primeiro, encontramos os pontos de interseção das duas curvas:
Assim, a área está entre
e
.
Agora, identificamos qual curva está acima da outra nesse intervalo. Por exemplo, para
:
Então,
está acima de
.
A área correta seria:
A integral dada,
, é o oposto da expressão correta. Portanto, ela não representa a área corretamente.
Resposta
(a) Falsa.
(b) Verdadeira.
© Falsa.
Exercícios relacionados
Calcule a área delimitada pela curva
e o eixo
no intervalo indicado em cada caso:
(a) , em
;
(b) , em
;
© , em
;
(d) , em
;
(e) , em
;
(f) ,em
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Exercício do livro
Calcule a área limitada pelo eixo
e o gráfico de
Determine uma primitiva da função.
- (a)
(b)