Decida sobre a verdade ou falsidade das seguintes afirmações:
(a) A área da região do plano limitada pelo gráfico de f(x)=x-2, a reta x=4, o eixo x e o eixo y e a seguinte integral: integral0^4(x-2) d x.
(b) A área da região do plano limitada pelo gráfico de f(x)=x^2-1 e o eixo x para -1 <= x <= 3 e a seguinte soma de integrais:
-integral-1^1(x^2-1) d x+integral1^3(x^2-1) d x
© A área limitada pelas curvas y=-x^2+4 e y=-x+2 é a seguinte integral: integral-1^2(x^2- x-2) d x.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três afirmações que relacionam áreas de regiões no plano com integrais específicas. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de áreas usando integrais definidas. Para resolver, vamos precisar saber como calcular a área entre curvas e entender como as integrais representam essas áreas.

Passo 2

Afirmação (a): A área da região do plano limitada pelo gráfico de , a reta , o eixo e o eixo é dada pela integral .
Vamos ver se essa integral realmente representa a área dessa região.
Primeiro, desenhemos as curvas:
  • é uma reta que cruza o eixo em e o eixo em .
  • é uma linha vertical.
  • Os eixos e são as referências.
A região limitada por essas curvas vai de a . No intervalo de a , está abaixo do eixo , e de a , está acima.
A integral calcula a área líquida, ou seja, subtrai a área onde a função está abaixo do eixo da área onde está acima. Porém, como queremos a área total sem considerar sinais (área sempre positiva), essa integral não representa corretamente a área total.

Passo 3

Afirmação (b): A área da região do plano limitada pelo gráfico de -integral-1^1(x^2-1) , dx + integral1^3(x^2-1) , dx e o eixo x^2 - 1 = 0 implies x = -1 e x = 1 para é dada pela soma das integrais:
Primeiro, encontramos onde corta o eixo :
Daí, sabemos que de a , a função está abaixo do eixo (valores negativos), e de a , está acima.
A integral transforma os valores negativos em positivos, representando a área entre e . Já a integral calcula a área diretamente onde a função está acima.
Portanto, a soma dessas integrais realmente representa a área total da região descrita.

Passo 4

Afirmação ©: A área limitada pelas curvas integral-1^2(x^2 - x - 2) , dx e -x^2 + 4 = -x + 2 implies x^2 - x - 2 = 0 implies x = 2 e x = -1 é dada pela integral:
y = -0 + 4 = 4 e y = -0 + 2 = 2
Vamos verificar isso. Primeiro, encontramos os pontos de interseção das duas curvas:
integral-1^2 [ (-x^2 + 4) - (-x + 2) ] , dx = integral-1^2 ( -x^2 + x + 2 ) , dx
Assim, a área está entre e .
Agora, identificamos qual curva está acima da outra nesse intervalo. Por exemplo, para :
Então, está acima de .
A área correta seria:
A integral dada, , é o oposto da expressão correta. Portanto, ela não representa a área corretamente.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Verdadeira.
© Falsa.

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