Calcule a área delimitada pela curva y = f(x) e o eixo x no intervalo indicado em cada caso: f(x) = x^2 - 1, em [-1, 1];

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área que está entre a curva e o eixo no intervalo de até . Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é uma ferramenta da matemática para encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a função . Sabemos que é uma parábola que abre pra cima, e subtrair 1 vai baixar a parabola uma unidade. No intervalo de a , vamos ver que a função está abaixo do eixo , ou seja, os valores de são negativos.

Passo 3

Como a função está abaixo do eixo , a área que queremos calcular é positiva, mas a integral de de a daria um valor negativo. Para contornar isso, vamos pegar o módulo da função, ou seja, usar .

Passo 4

Agora, configuramos a integral para calcular a área:
Á
Vamos integrar termo a termo:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Á
Simplificando:

Resposta

A área delimitada pela curva e o eixo no intervalo de a é unidades quadradas.

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