Calcule a área limitada pelo gráfico da função f(x)=-4x2+40x-7 e pelo eixo x.
A A=550,01
B A=571,07
C A=584,99
D A=597,91

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área limitada pelo gráfico da função $ f(x) = -4x^2 + 40x - 7 $ e pelo eixo $ x $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde o gráfico da função cruza o eixo $ x $. Isso acontece quando $ f(x) = 0 $. Então, vamos resolver a equação:
x
Essa é uma equação quadrática, e vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes.

Passo 3

A fórmula de Bhaskara é:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, $ a = -4 $, $ b = 40 $, e $ c = -7 a = -4 \Delta $):
b = 40

Passo 4

Agora, vamos encontrar as raízes:
x = -40 pm raiz14882 times (-4) = -40 pm 38.58-8
Calculando cada raiz:
x1 = -40 - 38.58-8 approx 9.82
x2 = -40 + 38.58-8 approx 0.18
Então, as raízes são aproximadamente $ x_1 = 9.82 $ e $ x_2 = 0.18 $.

Passo 5

Com essas raízes, sabemos que a área que queremos está entre $ x = 0.18 $ e $ x = 9.82 $. Para encontrar essa área, vamos integrar a função $ f(x) $ nesse intervalo.
A integral de $ f(x) $ é:
x = 0.18

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor da integral nos pontos $ x = 9.82 $ e $ x = 0.18 $ e depois subtrair:
x = 9.82
Fazendo as contas:
x = 0.18

Resposta

A área limitada pelo gráfico da função e pelo eixo $ x $ é aproximadamente $ 584,99 $. Portanto, a resposta correta é a opção C) A=584,99.

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