Calcule a área limitada pelo gráfico da função f(x)=-4x2+40x-7 e pelo eixo x.
A A=550,01
B A=571,07
C A=584,99
D A=597,91
A A=550,01
B A=571,07
C A=584,99
D A=597,91
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área limitada pelo gráfico da função $ f(x) = -4x^2 + 40x - 7 $ e pelo eixo $ x $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde o gráfico da função cruza o eixo $ x $. Isso acontece quando $ f(x) = 0 $. Então, vamos resolver a equação:
Essa é uma equação quadrática, e vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes.
Passo 3
A fórmula de Bhaskara é:
Aqui, $ a = -4 $, $ b = 40 $, e $ c = -7
\Delta $):
Passo 4
Agora, vamos encontrar as raízes:
Calculando cada raiz:
Então, as raízes são aproximadamente $ x_1 = 9.82 $ e $ x_2 = 0.18 $.
Passo 5
Com essas raízes, sabemos que a área que queremos está entre $ x = 0.18 $ e $ x = 9.82 $. Para encontrar essa área, vamos integrar a função $ f(x) $ nesse intervalo.
A integral de $ f(x) $ é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor da integral nos pontos $ x = 9.82 $ e $ x = 0.18 $ e depois subtrair:
Fazendo as contas:
Resposta
A área limitada pelo gráfico da função e pelo eixo $ x $ é aproximadamente $ 584,99 $. Portanto, a resposta correta é a opção C) A=584,99.