11- Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD,para:
a) A(-3,-1), B (4,2), C(5,5)
b) A(5,-5), B (7,3), C(3,4)
a) A(-3,-1), B (4,2), C(5,5)
b) A(5,-5), B (7,3), C(3,4)
Passo 1
Vamos resolver o exercício de encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD. A matéria envolvida aqui é geometria analítica, especificamente o conceito de paralelogramo e coordenadas dos vértices. Precisamos usar as propriedades dos paralelogramos para determinar a posição do quarto vértice D.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que em um paralelogramo, os lados opostos são iguais e paralelos. Além disso, as diagonais se bissetam, ou seja, o ponto médio das diagonais é o mesmo. Vamos usar essa propriedade para encontrar o vértice D.
Passo 3
Para encontrar o ponto D, podemos usar a fórmula do ponto médio. Se considerarmos que as diagonais se cruzam no ponto médio, podemos igualar os pontos médios das diagonais AC e BD.
A fórmula do ponto médio entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
Passo 4
Vamos aplicar isso para o item a):
Dados:
- A(-3, -1)
- B(4, 2)
- C(5, 5)
Queremos encontrar D $ (x, y) $.
Primeiro, encontramos o ponto médio de AC:
Passo 5
Agora, sabemos que o ponto médio de BD também deve ser $ (1, 2) $. Usando a fórmula do ponto médio para BD:
Isso nos dá duas equações:
Passo 6
Resolvendo as equações:
Para x:
Para y:
Passo 7
Portanto, o vértice D para o item a) é $ D(-2, 2) $.
Passo 8
Agora, vamos resolver o item b):
Dados:
- A(5, -5)
- B(7, 3)
- C(3, 4)
Queremos encontrar D $ (x, y) $.
Primeiro, encontramos o ponto médio de AC:
Passo 9
Sabendo que o ponto médio de BD também deve ser $ (4, -\frac{1}{2}) $, usamos a fórmula do ponto médio para BD:
Isso nos dá duas equações:
Passo 10
Resolvendo as equações:
Para x:
Para y:
Passo 11
Portanto, o vértice D para o item b) é $ D(1, -4) $.
Resposta
a) O vértice D é $ D(-2, 2) $.
b) O vértice D é $ D(1, -4) $.