11- Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD,para:
a) A(-3,-1), B (4,2), C(5,5)
b) A(5,-5), B (7,3), C(3,4)

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD. A matéria envolvida aqui é geometria analítica, especificamente o conceito de paralelogramo e coordenadas dos vértices. Precisamos usar as propriedades dos paralelogramos para determinar a posição do quarto vértice D.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que em um paralelogramo, os lados opostos são iguais e paralelos. Além disso, as diagonais se bissetam, ou seja, o ponto médio das diagonais é o mesmo. Vamos usar essa propriedade para encontrar o vértice D.

Passo 3

Para encontrar o ponto D, podemos usar a fórmula do ponto médio. Se considerarmos que as diagonais se cruzam no ponto médio, podemos igualar os pontos médios das diagonais AC e BD.
A fórmula do ponto médio entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
(x1, y1)

Passo 4

Vamos aplicar isso para o item a):
Dados:
  • A(-3, -1)
  • B(4, 2)
  • C(5, 5)
Queremos encontrar D $ (x, y) $.
Primeiro, encontramos o ponto médio de AC:
(x, y)

Passo 5

Agora, sabemos que o ponto médio de BD também deve ser $ (1, 2) $. Usando a fórmula do ponto médio para BD:
(1, 2)
Isso nos dá duas equações:
( 4 + x2, 2 + y2 ) = (1, 2)

Passo 6

Resolvendo as equações:
Para x:
4 + x2 = 1 implies 4 + x = 2 implies x = 2 - 4 implies x = -2
Para y:
2 + y2 = 2 implies 2 + y = 4 implies y = 4 - 2 implies y = 2

Passo 7

Portanto, o vértice D para o item a) é $ D(-2, 2) $.

Passo 8

Agora, vamos resolver o item b):
Dados:
  • A(5, -5)
  • B(7, 3)
  • C(3, 4)
Queremos encontrar D $ (x, y) $.
Primeiro, encontramos o ponto médio de AC:
(x, y)

Passo 9

Sabendo que o ponto médio de BD também deve ser $ (4, -\frac{1}{2}) $, usamos a fórmula do ponto médio para BD:
(4, -12)
Isso nos dá duas equações:
( 7 + x2, 3 + y2 ) = ( 4, -12 )

Passo 10

Resolvendo as equações:
Para x:
7 + x2 = 4 implies 7 + x = 8 implies x = 8 - 7 implies x = 1
Para y:
3 + y2 = -12 implies 3 + y = -1 implies y = -1 - 3 implies y = -4

Passo 11

Portanto, o vértice D para o item b) é $ D(1, -4) $.

Resposta

a) O vértice D é $ D(-2, 2) $.
b) O vértice D é $ D(1, -4) $.

Exercícios relacionados