Calcule a área da superfície gerada pela rotação da lemniscata ao redor da reta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície que é formada quando a lemniscata, que é dada pela equação polar , gira em torno da reta . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente integração em coordenadas polares para encontrar áreas de superfícies geradas por rotações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma lemniscata. A lemniscata é uma curva em forma de oito, que nesse caso é definida por em coordenadas polares. Nosso objetivo é encontrar a área da superfície obtida ao girar essa curva em torno da reta , que é uma reta vertical passando pelo eixo polar.

Passo 3

Para encontrar a área da superfície gerada por uma rotação, usamos a fórmula de superfície de revolução em coordenadas polares. A fórmula geral para a área da superfície gerada pela rotação de uma curva ao redor de uma reta fixa é:
Onde:
  • é o ângulo da reta de rotação em relação ao eixo polar. No nosso caso, .
  • e são os limites de integração que cobrem todo o traçado da curva.

Passo 4

Vamos identificar os componentes na nossa equação:
  • A equação da lemniscata é , então .
  • pois estamos girando em torno da reta .
  • Precisamos determinar os limites de que percorrem toda a lemniscata. A lemniscata se completa quando , ou seja, quando está entre e , então varia de a .

Passo 5

Agora, vamos calcular :

Passo 6

Substituindo na fórmula da área:

Passo 7

Simplificando as expressões:
Sabemos que .
E a raiz quadrada na segunda multiplicação fica:

Passo 8

Substituindo essas simplificações na integral:

Passo 9

Calculando a integral:
Portanto:
Sabemos que e , então:

Passo 10

O sinal negativo indica que a orientação foi invertida, mas a área é sempre positiva. Portanto:

Resposta

A área da superfície gerada é .

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