Calcule a área da superfície gerada pela rotação da lemniscata
ao redor da reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície que é formada quando a lemniscata, que é dada pela equação polar
, gira em torno da reta
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente integração em coordenadas polares para encontrar áreas de superfícies geradas por rotações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma lemniscata. A lemniscata é uma curva em forma de oito, que nesse caso é definida por
em coordenadas polares. Nosso objetivo é encontrar a área da superfície obtida ao girar essa curva em torno da reta
, que é uma reta vertical passando pelo eixo polar.
Passo 3
Para encontrar a área da superfície gerada por uma rotação, usamos a fórmula de superfície de revolução em coordenadas polares. A fórmula geral para a área da superfície
gerada pela rotação de uma curva
ao redor de uma reta fixa é:
Onde:
-
é o ângulo da reta de rotação em relação ao eixo polar. No nosso caso, . -
e são os limites de integração que cobrem todo o traçado da curva.
Passo 4
Vamos identificar os componentes na nossa equação:
- A equação da lemniscata é
, então . -
pois estamos girando em torno da reta . - Precisamos determinar os limites de
que percorrem toda a lemniscata. A lemniscata se completa quando , ou seja, quando está entre e , então varia de a .
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Passo 6
Substituindo na fórmula da área:
Passo 7
Simplificando as expressões:
Sabemos que
.
E a raiz quadrada na segunda multiplicação fica:
Passo 8
Substituindo essas simplificações na integral:
Passo 9
Calculando a integral:
Portanto:
Sabemos que
e
, então:
Passo 10
O sinal negativo indica que a orientação foi invertida, mas a área é sempre positiva. Portanto:
Resposta
A área da superfície gerada é
.
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