Calcule a área do triângulo retângulo de base
determinado pelo eixo
e pelas retas
e
usando partições homogêneas.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um triângulo retângulo que tem como base o intervalo de
a
no eixo
, e é formado pelo próprio eixo
, pela reta
e pela reta vertical
. Vamos calcular a área desse triângulo usando partições homogêneas, ou seja, dividindo a base em partes iguais.
Passo 2
Para calcular a área usando partições homogêneas, vamos dividir a base
em
partes iguais. Cada partição terá um comprimento de
. Isso facilita o cálculo da área aproximada do triângulo.
Passo 3
Em cada partição, vamos considerar um retângulo de base
e altura igual à função que delimita o triângulo, que no caso é
. Para o
-ésimo retângulo, a altura será
, onde
varia de
a
.
Passo 4
A área de cada retângulo será então
. Para encontrar a área total do triângulo, somamos as áreas de todos os retângulos.
Passo 5
A soma das áreas dos retângulos é:
Sabemos que a soma dos primeiros
números naturais é
.
Passo 6
Substituindo na expressão da área total:
Ao aumentar o número de partições
para o infinito, a expressão
tende a
.
Resposta
A área do triângulo retângulo é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Utilize o Princípio de Indução Finita para provar os itens abaixo:
é divisível por 6 para
Use partições homogêneas para mostrar que o processo explicado em aula aplicado à função
definida por
na qual
resulta na área
do respectivo trapézio.
Determine a área sob o gráfico de
de
a
usando os extremos direitos dos subintervalos e partição homogênea.
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