Calcule a área do triângulo retângulo de base [0,1] determinado pelo eixo 0 x e pelas retas y = x e x = 1 usando partições homogêneas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um triângulo retângulo que tem como base o intervalo de 0 a 1 no eixo x, e é formado pelo próprio eixo x, pela reta e pela reta vertical x = 1. Vamos calcular a área desse triângulo usando partições homogêneas, ou seja, dividindo a base em partes iguais.

Passo 2

Para calcular a área usando partições homogêneas, vamos dividir a base [0,1] em n partes iguais. Cada partição terá um comprimento de . Isso facilita o cálculo da área aproximada do triângulo.

Passo 3

Em cada partição, vamos considerar um retângulo de base Delta x e altura igual à função que delimita o triângulo, que no caso é . Para o i-ésimo retângulo, a altura será , onde i varia de 1 a n.

Passo 4

A área de cada retângulo será então . Para encontrar a área total do triângulo, somamos as áreas de todos os retângulos.

Passo 5

A soma das áreas dos retângulos é:
Sabemos que a soma dos primeiros n números naturais é .

Passo 6

Substituindo na expressão da área total:
Ao aumentar o número de partições n para o infinito, a expressão tende a 1/2.

Resposta

A área do triângulo retângulo é 1/2 unidades de área.

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