Use partições homogêneas para mostrar que o processo explicado em aula aplicado à função
definida por
na qual
resulta na área
do respectivo trapézio.
Passo 1
Então, temos que mostrar que para a função
no intervalo
, onde
, a área do trapézio formado é
. Vamos usar partições homogêneas, que são divisões do intervalo em segmentos de mesmo tamanho, para resolver isso. Vamos precisar entender como calcular áreas usando partições e um pouco de cálculo básico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são partições homogêneas. Imagine que dividimos o intervalo
em
partes iguais. Cada parte terá uma largura
dada por:
Isso facilita os cálculos porque todas as subintervalos têm o mesmo tamanho.
Passo 3
Agora, para cada subintervalo, vamos calcular a altura da função
nos pontos iniciais e finais. Isso nos ajuda a formar pequenos trapézios cuja área podemos somar para encontrar a área total.
Passo 4
A área de cada trapézio pequeno é dada por:
onde
para
.
Passo 5
Somando todas essas pequenas áreas, temos a soma das áreas dos trapézios:
Substituindo
nessa expressão, ficamos com:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da soma:
Como
, temos:
Portanto:
Passo 7
Agora, ao somar todos os termos, reconhecemos que no limite quando
tende ao infinito (ou seja,
tende a zero), a soma se transforma em uma integral:
Passo 8
Calculando a integral:
Isso resulta em:
Resposta
A área do trapézio é
.
Exercícios relacionados
Calcule a área do triângulo retângulo de base
determinado pelo eixo
e pelas retas
e
usando partições homogêneas.
Utilize o Princípio de Indução Finita para provar os itens abaixo:
é divisível por 6 para
Determine a área sob o gráfico de
de
a
usando os extremos direitos dos subintervalos e partição homogênea.
1
1
Calcule o fluxo do campo vetorial
através da superfície
que corresponde a porção do plano
situada no interior da esfera
. Especifique a orientação escolhida.