Utilize o Princípio de Indução Finita para provar os itens abaixo:
é divisível por 6 para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a expressão
é divisível por 6 para todo número inteiro
maior ou igual a 1. Vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que é uma técnica usada para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.
Passo 2
Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é válida para
.
Calculando:
Como 6 é divisível por 6, a base da indução está confirmada.
Passo 3
Hipótese de Indução: Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número
. Ou seja, assumimos que:
Isso significa que existe um inteiro
tal que:
Passo 4
Passo Indutivo: Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para
, então também é verdadeira para
.
Vamos calcular
:
Simplificando:
Agora, observe que podemos rearranjar:
Pela Hipótese de Indução, sabemos que
, então:
Fatorando 3 dos termos restantes:
Agora, vemos que
é múltiplo de 3, mas precisamos que toda a expressão seja múltiplo de 6. Observando que
já é múltiplo de 6 e
é múltiplo de 3, para que a soma seja múltiplo de 6, precisamos que
seja par, o que sempre acontece porque
e um dos termos
ou
é par.
Portanto,
é múltiplo de 6, e assim:
Resposta
Portanto, pelo Princípio da Indução Matemática,
é divisível por 6 para todo
.
Exercícios relacionados
Utilize o Princípio de Indução Finita para provar os itens abaixo:
Calcule a área do triângulo retângulo de base
determinado pelo eixo
e pelas retas
e
usando partições homogêneas.
Use partições homogêneas para mostrar que o processo explicado em aula aplicado à função
definida por
na qual
resulta na área
do respectivo trapézio.