Utilize o Princípio de Indução Finita para provar os itens abaixo: n^3 + 5n é divisível por 6 para n ≥ 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a expressão é divisível por 6 para todo número inteiro maior ou igual a 1. Vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que é uma técnica usada para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.

Passo 2

Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é válida para .
Calculando:
Como 6 é divisível por 6, a base da indução está confirmada.

Passo 3

Hipótese de Indução: Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número . Ou seja, assumimos que:
éí
Isso significa que existe um inteiro tal que:

Passo 4

Passo Indutivo: Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para , então também é verdadeira para .
Vamos calcular :
Simplificando:
Agora, observe que podemos rearranjar:
Pela Hipótese de Indução, sabemos que , então:
Fatorando 3 dos termos restantes:
Agora, vemos que é múltiplo de 3, mas precisamos que toda a expressão seja múltiplo de 6. Observando que já é múltiplo de 6 e é múltiplo de 3, para que a soma seja múltiplo de 6, precisamos que seja par, o que sempre acontece porque e um dos termos ou é par.
Portanto, é múltiplo de 6, e assim:
éí

Resposta

Portanto, pelo Princípio da Indução Matemática, é divisível por 6 para todo .

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