Um laticínio necessita de um leite com uma média de, no mínimo, 3% de gordura. Em função disso, a equipe técnica resolveu realizar um experimento com 11 vacas uniformes suplementadas por 11 diferentes doses de uma ração X e com duração de 15 dias, para alpha= 0,05 . Para a análise dos resultados, considere apenas uma das duas equaçōes de regressão ajustadas.
De acordo com o experimento, qual é a dose da ração X recomendada?
Vaca 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
cccccccccccc hline Vaca & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 hline $X$ & 0 & 0,2 & 0,4 & 0,6 & 0,8 & 1,0 & 1,2 & 1,4 & 1,6 & 1,8 & 2,0 $Y$ & 1,4 & 1,8 & 2,1 & 2,4 & 2,8 & 3,0 & 2,7 & 2,3 & 1,9 & 1,7 & 1,5 hline 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
cccc|cccc hline mu 1,4 1,8 2,1 2,4 2,8 3,0 2,7 2,3 1,9 1,7 1,5
Regressão de primeiro grau Regressão de segundo grau
Termo Coeficiente p -valor Termo Coeficiente p -valor
Constante 2,1818 6,81 0,0001 Constante 1,3566 9,12 0,0000
0,8961 2,7142 7,84 0,0001
0,0000
0,0020 0,8951
QMResReg 0,3224 QMResReg 0,0381

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um laticínio que precisa de um leite com, no mínimo, 3% de gordura. Para isso, eles fizeram um experimento com 11 vacas, cada uma recebendo uma dose diferente da ração X por 15 dias. A ideia é analisar qual dose da ração X é recomendada para alcançar essa média de 3% de gordura no leite.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de regressão linear e regressão quadrática, que são ferramentas estatísticas usadas para modelar a relação entre uma variável independente (no caso, a dose da ração X) e uma variável dependente (a porcentagem de gordura no leite Y).

Passo 2

Primeiro, vamos olhar as duas equações de regressão que foram ajustadas aos dados:
Regressão de Primeiro Grau (Linear):
Y = 2,1818 - 0,0364X
R² = 0,0020 ²
Regressão de Segundo Grau (Quadrática):
Y = 1,3566 + 2,7142X - 1,3753X² ²
R² = 0,8951 ²
O valor de ² nos diz o quão bem a regressão se ajusta aos dados. Quanto mais próximo de 1, melhor o ajuste. Aqui, a regressão de segundo grau tem um ² muito maior, indicando que ela descreve melhor a relação entre X e Y.

Passo 3

Como a regressão de segundo grau é mais adequada, vamos utilizá-la para encontrar a dose 3 = 1,3566 + 2,7142X - 1,3753X² que nos dá de gordura no leite.
Substituímos por 3 na equação quadrática:
²

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar -1,3753X² + 2,7142X + 1,3566 - 3 = 0 . Primeiro, vamos rearranjar a equação:
-1,3753X² + 2,7142X - 1,6434 = 0 ²
1,3753X² - 2,7142X + 1,6434 = 0 ²
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por -1:
²

Passo 5

Essa é uma equação quadrática da forma X = -b pm raizb² - 4ac2a ². Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver:
De²
Onde:
  • De
  • De
  • De
Vamos calcular o discriminante ( ):
²
²

Passo 6

O discriminante é negativo ( ), o que significa que não há soluções reais para essa equação. Em outras palavras, não existe uma dose real de ração X que, segundo a regressão quadrática, proporcione exatamente 3% de gordura no leite.

Passo 7

Como não conseguimos encontrar uma dose específica que atinja os 3% com a regressão quadrática, vamos analisar os dados fornecidos. Observamos que, para , a porcentagem de gordura no leite é exatamente 3,0%.
Portanto, a dose recomendada da ração X para alcançar a média de 3% de gordura no leite é:

Resposta

A dose recomendada da ração é 1,0.

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