Calcule, caso exista ou justifique a nâo exitência: lim x 1 sen(pi x)x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de 1 da função . Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre limites do tipo indeterminado e a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos sen(pi cdot 1)1 - 1 = sen(pi)0 diretamente na função:
Sabemos que , então temos uma situação do tipo , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos de uma técnica para resolver esse tipo de limite, e é aqui que entra a regra de L’Hôpital.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que se temos um limite do tipo ddx sen(pi x) = pi cos(pi x) ou ddx (x - 1) = 1 , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente. Então, vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:

Passo 4

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
limx 1 pi cos(pi x)1
Isso simplifica para:
pi cos(pi x)

Passo 5

Finalmente, substituímos pi cos(pi cdot 1) = pi cos(pi) na expressão resultante:
pi cdot (-1) = -pi
Sabemos que , então:

Resposta

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