Calcule, caso exista ou justifique a nâo exitência: lim x 0 x^3+3 x3 x^3+x^4+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos precisar verificar se conseguimos simplificar a expressão para encontrar o valor do limite quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 0^3 + 3 cdot 03 cdot 0^3 + 0^4 + 0 = 0 + 00 + 0 + 0 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
A gente acabou de ver que termos uma indeterminação do tipo . Isso significa que não podemos concluir o limite apenas substituindo os valores. Precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos simplificar a fração fatorando x^3 + 3x3x^3 + x^4 + x = x(x^2 + 3)x(3x^2 + x^3 + 1) tanto no numerador quanto no denominador:
x^2 + 33x^2 + x^3 + 1
Agora, podemos cancelar o que está em cima e embaixo, já que (estamos aproximando de 0, mas não igualando):

Passo 4

Com a expressão simplificada, agora podemos substituir 0^2 + 33 cdot 0^2 + 0^3 + 1 = 0 + 30 + 0 + 1 = 31 = 3 de novo:
Então, o limite é igual a 3.

Resposta

O limite é 3.

Exercícios relacionados