Calcule a circulação do campo F(x, y, z) = y i + x z j + z^2 k ao redor da curva C fronteira do triângulo recortado do plano x + y + z = 1 pelo primeiro octante, no sentido horário quando vista da origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a circulação do campo vetorial F(x, y, z) = y i + x z j + z^2 k ao redor da curva C, que é a borda do triângulo formado pela interseção do plano x + y + z = 1 com o primeiro octante. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como circulação, campos vetoriais e integração de linha. Vamos precisar entender como parametrizar a curva C e aplicar as ferramentas de integração para encontrar o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva C. Ela é a fronteira do triângulo no primeiro octante formado pelo plano x + y + z = 1. Os pontos de interseção com os eixos são (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). Assim, a curva C é composta por três segmentos de reta conectando esses pontos.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar cada segmento da curva C:
  1. De (1, 0, 0) para (0, 1, 0): Podemos usar , , , onde t varia de 0 a 1.
  2. De (0, 1, 0) para (0, 0, 1): Aqui, x = 0, , , com t de 0 a 1.
  3. De (0, 0, 1) para (1, 0, 0): Temos , , , com t de 0 a 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de linha da circulação para cada segmento. A circulação é dada por:
Isso significa que precisamos calcular a integral de para cada segmento e somar os resultados.

Passo 5

Vamos calcular para o primeiro segmento, de (1, 0, 0) a (0, 1, 0):
Como z = 0 nesse segmento, temos
A parametrização é , , , então
Produto escalar
Integral do primeiro segmento:

Passo 6

Agora, para o segundo segmento, de (0, 1, 0) a (0, 0, 1):
Aqui, x = 0, então
Parametrização: x = 0, , , então
Produto escalar
Integral do segundo segmento:

Passo 7

Finalmente, para o terceiro segmento, de (0, 0, 1) a (1, 0, 0):
Parametrização: , , , então
Produto escalar
Integral do terceiro segmento:

Resposta

Somando as três integrais:
A circulação do campo F ao redor da curva C é 1/6.

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