Calcule a circulação do campo
ao redor da curva
fronteira do triângulo recortado do plano
pelo primeiro octante, no sentido horário quando vista da origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a circulação do campo vetorial
ao redor da curva
, que é a borda do triângulo formado pela interseção do plano
com o primeiro octante. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como circulação, campos vetoriais e integração de linha. Vamos precisar entender como parametrizar a curva
e aplicar as ferramentas de integração para encontrar o resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a curva
. Ela é a fronteira do triângulo no primeiro octante formado pelo plano
. Os pontos de interseção com os eixos são
,
e
. Assim, a curva
é composta por três segmentos de reta conectando esses pontos.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar cada segmento da curva
:
- De
para : Podemos usar , , , onde varia de 0 a 1. - De
para : Aqui, , , , com de 0 a 1. - De
para : Temos , , , com de 0 a 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de linha da circulação para cada segmento. A circulação é dada por:
Isso significa que precisamos calcular a integral de
para cada segmento e somar os resultados.
Passo 5
Vamos calcular para o primeiro segmento, de
a
:
Como
nesse segmento, temos
A parametrização é
,
,
, então
Produto escalar
Integral do primeiro segmento:
Passo 6
Agora, para o segundo segmento, de
a
:
Aqui,
, então
Parametrização:
,
,
, então
Produto escalar
Integral do segundo segmento:
Passo 7
Finalmente, para o terceiro segmento, de
a
:
Parametrização:
,
,
, então
Produto escalar
Integral do terceiro segmento:
Resposta
Somando as três integrais:
A circulação do campo
ao redor da curva
é
.