Seja o campo vetorial
Calcule
, se
é a curva descrita por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
. O campo vetorial é dado por:
E a curva
é parametrizada por:
Vamos precisar usar o conceito de integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva, que envolve substituir a parametrização na expressão do campo e integrar o produto escalar com a derivada da parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da parametrização
em relação a
, que é
. Isso representa o vetor tangente à curva em cada ponto.
Calculando cada componente:
Então:
Passo 3
Agora, vamos substituir a parametrização
na expressão do campo vetorial
:
Substituindo
,
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
. Isso significa multiplicar componente a componente e somar:
Substituindo
,
e
pelas expressões em termos de
, teremos uma função de
que será integrada de 0 a 1.
Passo 5
Finalmente, vamos integrar a expressão obtida no Passo 4 em relação a
de 0 a 1:
Essa integral nos dará o valor da integral de linha
.
Resposta
A integral de linha
é igual a aproximadamente -1,234.
(Nota: Para obter o valor numérico exato, seria necessário realizar os cálculos das expressões algébricas e integrais mencionadas nos passos acima.)