Utilizando o teorema de Stokes, transforme
em uma integral de linha e calcule:
com
,
, sendo
a normal exterior.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem que usar o Teorema de Stokes para transformar uma integral de superfície em uma integral de linha. A função vetorial que vamos trabalhar é
e a superfície
está parametrizada por , onde
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo para converter a integral de superfície em uma integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial a uma integral de linha do próprio campo vetorial ao longo da borda da superfície. Matemáticamente, é expresso como:
Isso significa que em vez de calcular a integral de superfície, que pode ser mais complicada, podemos calcular uma integral de linha ao redor da borda da superfície
.
Passo 3
Vamos identificar a borda da superfície
. A parametrização dada é:
Para
, temos a borda da superfície, que é uma curva fechada quando
varia de
a
. Portanto, a curva de fronteira
é:
Passo 4
Agora, vamos parametrizar a curva de fronteira
. Diferenciando
em relação a
, obtemos o vetor diferencial
:
Perceba que a componente
desaparece porque sua derivada em relação a
é zero.
Passo 5
Vamos agora calcular
na borda
. Substituindo
na função vetorial
, já que na borda
implica
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 7
A integral de linha fica então:
Vamos resolver essa integral termo a termo.
Passo 8
Primeiro, considere o termo :
Podemos usar identidades trigonométricas para simplificar. Sabemos que:
Então,
Segundo, o termo pode ser integrado diretamente:
Fazendo a substituição ,
,
Passo 9
Voltando à integral completa:
Sabemos que:
E,
Passo 10
Substituindo os valores:
Resposta
A integral de superfície transformada em integral de linha pelo Teorema de Stokes resulta em
.