Utilizando o teorema de Stokes, transforme integral duplaS rot F cdot n d S em uma integral de linha e calcule: F(x, y, z)=x^2 y i+2 y^3 z j+3 z k, S: r(r, theta)=(r cos theta) i+(r sen theta) j+r k, com 0 <= r <= 1, 0 <= theta <= 2 pi, sendo n a normal exterior.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem que usar o Teorema de Stokes para transformar uma integral de superfície em uma integral de linha. A função vetorial que vamos trabalhar é F(x, y, z) = x^2 y i + 2 y^3 z j + 3 z k e a superfície S está parametrizada por , onde r(r, theta) = r cos theta i + r sen theta j + r k e 0 <= r <= 1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo para converter a integral de superfície em uma integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial a uma integral de linha do próprio campo vetorial ao longo da borda da superfície. Matemáticamente, é expresso como:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = ointpartial S F cdot dr
Isso significa que em vez de calcular a integral de superfície, que pode ser mais complicada, podemos calcular uma integral de linha ao redor da borda da superfície S.

Passo 3

Vamos identificar a borda da superfície S. A parametrização dada é:
Para r(r, theta) = r cos theta i + r sen theta j + r k , temos a borda da superfície, que é uma curva fechada quando r = 1 varia de theta a 0. Portanto, a curva de fronteira 2pi é:

Passo 4

Agora, vamos parametrizar a curva de fronteira partial S. Diferenciando r(theta) em relação a theta, obtemos o vetor diferencial dr:
Perceba que a componente dr = drdtheta dtheta = (-sen theta i + cos theta j) dtheta desaparece porque sua derivada em relação a k é zero.

Passo 5

Vamos agora calcular F na borda partial S. Substituindo z = 1 na função vetorial F, já que na borda r = 1 implica z = r = 1:

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dr:

Passo 7

A integral de linha fica então:
Vamos resolver essa integral termo a termo.

Passo 8

Primeiro, considere o termo :
Podemos usar identidades trigonométricas para simplificar. Sabemos que:
Então,
Segundo, o termo pode ser integrado diretamente:
Fazendo a substituição , - cos^2 theta sen^2 theta,

Passo 9

Voltando à integral completa:
Sabemos que:
E,

Passo 10

Substituindo os valores:
ointpartial S F cdot dr = - 14 cdot pi + 12 cdot 3pi2 = - pi4 + 3pi4 = 2pi4 = pi2

Resposta

A integral de superfície transformada em integral de linha pelo Teorema de Stokes resulta em pi2.

Exercícios relacionados