Calcule e compare as densidades lineares das direções [100] e [110] para a estrutura cristalina CFC e as densidades planares dos planos (100) e (110) para a estrutura cristalina CCC.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular e comparar duas coisas diferentes nas estruturas cristalinas CFC (Cúbica de Face Centrada) e CCC (Cúbica de Corpo Centrado). Primeiro, vamos entender:
- Densidade linear: é a quantidade de átomos por unidade de comprimento ao longo de uma direção específica.
- Densidade planar: é a quantidade de átomos por unidade de área em um plano específico.
Para resolver isso, vamos precisar saber como os átomos estão distribuídos nessas estruturas e usar algumas fórmulas matemáticas básicas.
Passo 2
Vamos começar calculando a densidade linear das direções [100] e [110] na estrutura CFC. Na estrutura CFC, os átomos estão nas posições dos vértices e no centro de cada face do cubo.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a densidade linear na direção [100]. Essa direção vai de um vértice do cubo diretamente para o centro da face e depois para o vértice oposto. O comprimento total dessa direção é igual ao comprimento da aresta do cubo, que chamaremos de
.
Na direção [100], temos:
- 1 átomo no início,
- 1 átomo no centro da face,
- 1 átomo no final.
Mas, como os átomos nos v��rtices são compartilhados por 4 cubos, cada um contribui com
de átomo. Já o átomo no centro da face pertence totalmente a um cubo.
Então, o número total de átomos por direção [100] é:
A densidade linear (
) é:
Passo 4
Agora, vamos para a direção [110] na estrutura CFC. Essa direção vai de um vértice para o centro da aresta adjacente e depois para outro vértice.
Na direção [110], temos:
- 1 átomo no início,
- 1 átomo no meio da direção,
- 1 átomo no final.
Considerando a compartilhamento dos átomos nos vértices e no meio da aresta:
O comprimento dessa direção [110] é
, pois forma a hipotenusa de um quadrado de lado
.
Então, a densidade linear é:
Passo 5
Vamos comparar as duas densidades lineares na CFC:
- Para [100]:
- Para [110]:
Podemos ver que a densidade linear é maior na direção [100] do que na [110], já que
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a densidade planar dos planos (100) e (110) na estrutura CCC (Cúbica de Corpo Centrado). Na estrutura CCC, os átomos estão nos vértices do cubo e há um átomo no centro do cubo.
Passo 7
Primeiro, vamos para o plano (100) na CCC. Esse plano corta o cubo paralelamente a uma face.
No plano (100), vemos:
- 4 átomos nos vértices do plano, cada um contribuindo com
(pois estão compartilhados por dois planos adjacentes), - 1 átomo no centro do plano, que pertence totalmente a ele.
Então, o número total de átomos no plano (100) é:
A área do plano (100) é
.
A densidade planar (
) é:
Passo 8
Agora, vamos calcular a densidade planar do plano (110) na CCC. Esse plano corta o cubo diagonalmente.
No plano (110), temos:
- 2 átomos nos vértices do plano, cada um contribuindo com
, - 1 átomo no centro do plano.
Então, o número total de átomos no plano (110) é:
A área do plano (110) é:
Então, a densidade planar é:
Passo 9
Vamos comparar as densidades planares na CCC:
- Para (100):
- Para (110):
Claramente, a densidade planar é maior no plano (100) do que no (110), já que
.
Resposta
As densidades lineares na estrutura CFC são maiores na direção [100] (
) do que na [110] (
). Já nas densidades planares da estrutura CCC, o plano (100) tem densidade maior (
) comparado ao plano (110) (
).