Calcule e compare as densidades lineares das direções [100] e [110] para a estrutura cristalina CFC e as densidades planares dos planos (100) e (110) para a estrutura cristalina CCC.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular e comparar duas coisas diferentes nas estruturas cristalinas CFC (Cúbica de Face Centrada) e CCC (Cúbica de Corpo Centrado). Primeiro, vamos entender:
  • Densidade linear: é a quantidade de átomos por unidade de comprimento ao longo de uma direção específica.
  • Densidade planar: é a quantidade de átomos por unidade de área em um plano específico.
    Para resolver isso, vamos precisar saber como os átomos estão distribuídos nessas estruturas e usar algumas fórmulas matemáticas básicas.

Passo 2

Vamos começar calculando a densidade linear das direções [100] e [110] na estrutura CFC. Na estrutura CFC, os átomos estão nas posições dos vértices e no centro de cada face do cubo.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a densidade linear na direção [100]. Essa direção vai de um vértice do cubo diretamente para o centro da face e depois para o vértice oposto. O comprimento total dessa direção é igual ao comprimento da aresta do cubo, que chamaremos de Número de átomos = 14 + 1 + 14 = 1,5 .
Na direção [100], temos:
  • 1 átomo no início,
  • 1 átomo no centro da face,
  • 1 átomo no final.
Mas, como os átomos nos v��rtices são compartilhados por 4 cubos, cada um contribui com rho = Número de átomosa = 1,5a de átomo. Já o átomo no centro da face pertence totalmente a um cubo.
Então, o número total de átomos por direção [100] é:
úá
A densidade linear ( ) é:
úá

Passo 4

Agora, vamos para a direção [110] na estrutura CFC. Essa direção vai de um vértice para o centro da aresta adjacente e depois para outro vértice.
Na direção [110], temos:
  • 1 átomo no início,
  • 1 átomo no meio da direção,
  • 1 átomo no final.
Considerando a compartilhamento dos átomos nos vértices e no meio da aresta:
Número de átomos = 14 + 12 + 14 = 1 úá
O comprimento dessa direção [110] é rho = 1araiz2 , pois forma a hipotenusa de um quadrado de lado .
Então, a densidade linear é:

Passo 5

Vamos comparar as duas densidades lineares na CFC:
  • Para [100]:
  • Para [110]:
Podemos ver que a densidade linear é maior na direção [100] do que na [110], já que .

Passo 6

Agora, vamos calcular a densidade planar dos planos (100) e (110) na estrutura CCC (Cúbica de Corpo Centrado). Na estrutura CCC, os átomos estão nos vértices do cubo e há um átomo no centro do cubo.

Passo 7

Primeiro, vamos para o plano (100) na CCC. Esse plano corta o cubo paralelamente a uma face.
No plano (100), vemos:
  • 4 átomos nos vértices do plano, cada um contribuindo com Número de átomos = 4 times 12 + 1 = 3 (pois estão compartilhados por dois planos adjacentes),
  • 1 átomo no centro do plano, que pertence totalmente a ele.
Então, o número total de átomos no plano (100) é:
sigma = 3a^2 úá
A área do plano (100) é .
A densidade planar ( ) é:

Passo 8

Agora, vamos calcular a densidade planar do plano (110) na CCC. Esse plano corta o cubo diagonalmente.
No plano (110), temos:
  • 2 átomos nos vértices do plano, cada um contribuindo com Número de átomos = 2 times 12 + 1 = 2 ,
  • 1 átomo no centro do plano.
Então, o número total de átomos no plano (110) é:
a times araiz2 = a^2raiz2 úá
A área do plano (110) é:
sigma = 2a^2raiz2 = raiz2a^2
Então, a densidade planar é:

Passo 9

Vamos comparar as densidades planares na CCC:
  • Para (100):
  • Para (110):
Claramente, a densidade planar é maior no plano (100) do que no (110), já que .

Resposta

As densidades lineares na estrutura CFC são maiores na direção [100] ( ) do que na [110] ( ). Já nas densidades planares da estrutura CCC, o plano (100) tem densidade maior ( ) comparado ao plano (110) ( ).

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