Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função . Isso envolve alguns conceitos de cálculo, como derivadas de funções compostas e regras de derivação. Vamos precisar usar a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções que são compostas por outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que precisamos derivar:
Aqui, temos uma função composta: o cosseno de seno de raiz quadrada de .

Passo 3

Para derivar , vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz como derivar funções compostas. Se temos , a derivada é .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
  1. A função externa é , onde .
  2. A próxima função interna é , onde .
Vamos derivar passo a passo.

Passo 5

Primeiro, derivamos a função externa em relação a :

Passo 6

Agora, derivamos a função intermediária em relação a :

Passo 7

Por fim, derivamos em relação a :

Passo 8

Agora, juntando tudo usando a regra da cadeia:
Lembrando que e :

Resposta

A derivada da função é:

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i)
Calcule a derivada de .
ponto)