Calcule a covariância, o coeficiente de correlação e interprete o resultado.
Muitas vezes os dados devem ser transformados para que se obtenha uma relação linear entre a variável resposta e a variável explicativa. Os dados a seguir relacionam o diâmetro de uma fibra eo logaritmo de base da força de rompimento. Os dados são:
X
22,5
28
27,5
25,5
22
30,5
23
25
23,5
27
21,5
22
29
20,5
27
Y
0,19
0,62
0,51
0,53
0,24
0,87
0,25
0,25
0,37
0,32
0,13
0,35
0,53
0,22
0,65
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a covariância e o coeficiente de correlação entre o diâmetro das fibras (X) e o logaritmo da força de rompimento (Y). A gente vai precisar entender o que são covariância e correlação, além de aplicar algumas fórmulas matemáticas básicas para esses cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a covariância. A covariância mede como duas variáveis variam juntas. Se a covariância for positiva, significa que quando uma aumenta, a outra também tende a aumentar. Se for negativa, uma tende a aumentar enquanto a outra diminui. A fórmula da covariância é:
Onde:
e são os valores individuais das variáveis X e Y.
e são as médias das variáveis X e Y.
é o número de pares de dados.
Passo 3
Agora vamos calcular as médias de X e Y.
Primeiro, somamos todos os valores de X:
Então, a média de X () é:
Agora, somamos todos os valores de Y:
Então, a média de Y () é:
Passo 4
Agora vamos calcular cada termo para todos os 15 pares de dados e somar esses valores.
Vamos fazer passo a passo:
X_i
Y_i
X_i -
Y_i -
(X_i - )(Y_i - )
22,5
0,19
22,5 - 23,13 = -0,63
0,19 - 0,36 = -0,17
(-0,63)(-0,17) = 0,1071
28
0,62
28 - 23,13 = 4,87
0,62 - 0,36 = 0,26
(4,87)(0,26) = 1,2678
27,5
0,51
27,5 - 23,13 = 4,37
0,51 - 0,36 = 0,15
(4,37)(0,15) = 0,6555
25,5
0,53
25,5 - 23,13 = 2,37
0,53 - 0,36 = 0,17
(2,37)(0,17) = 0,4029
22
0,24
22 - 23,13 = -1,13
0,24 - 0,36 = -0,12
(-1,13)(-0,12) = 0,1356
30,5
0,87
30,5 - 23,13 = 7,37
0,87 - 0,36 = 0,51
(7,37)(0,51) = 3,7567
23
0,25
23 - 23,13 = -0,13
0,25 - 0,36 = -0,11
(-0,13)(-0,11) = 0,0143
25
0,25
25 - 23,13 = 1,87
0,25 - 0,36 = -0,11
(1,87)(-0,11) = -0,2057
23,5
0,37
23,5 - 23,13 = 0,37
0,37 - 0,36 = 0,01
(0,37)(0,01) = 0,0037
27
0,32
27 - 23,13 = 3,87
0,32 - 0,36 = -0,04
(3,87)(-0,04) = -0,1548
21,5
0,13
21,5 - 23,13 = -1,63
0,13 - 0,36 = -0,23
(-1,63)(-0,23) = 0,3749
22
0,35
22 - 23,13 = -1,13
0,35 - 0,36 = -0,01
(-1,13)(-0,01) = 0,0113
29
0,53
29 - 23,13 = 5,87
0,53 - 0,36 = 0,17
(5,87)(0,17) = 0,9979
20,5
0,22
20,5 - 23,13 = -2,63
0,22 - 0,36 = -0,14
(-2,63)(-0,14) = 0,3682
27
0,65
27 - 23,13 = 3,87
0,65 - 0,36 = 0,29
(3,87)(0,29) = 1,1223
Agora, somamos todos os valores da última coluna:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da covariância:
Então, a covariância entre X e Y é aproximadamente 0,5825.
Passo 6
Agora, vamos calcular o coeficiente de correlação. Esse coeficiente varia entre -1 e 1 e indica a força e a direção da relação linear entre as duas variáveis. A fórmula do coeficiente de correlação é:
Onde:
é a covariância que já calculamos.
é o desvio padrão de X.
é o desvio padrão de Y.
Passo 7
Primeiro, precisamos calcular o desvio padrão de X e de Y. O desvio padrão mede a dispersão dos dados em torno da média. A fórmula do desvio padrão é:
Vamos calcular :
Calculando para cada X:
X_i
X_i -
(X_i - )²
22,5
-0,63
0,3969
28
4,87
23,7169
27,5
4,37
19,0969
25,5
2,37
5,6169
22
-1,13
1,2769
30,5
7,37
54,3769
23
-0,13
0,0169
25
1,87
3,4969
23,5
0,37
0,1369
27
3,87
14,9769
21,5
-1,63
2,6569
22
-1,13
1,2769
29
5,87
34,4569
20,5
-2,63
6,9169
27
3,87
14,9769
Somando todos esses valores:
Então,
Agora, vamos calcular :
Calculando para cada Y:
Y_i
Y_i -
(Y_i - )²
0,19
-0,17
0,0289
0,62
0,26
0,0676
0,51
0,15
0,0225
0,53
0,17
0,0289
0,24
-0,12
0,0144
0,87
0,51
0,2601
0,25
-0,11
0,0121
0,25
-0,11
0,0121
0,37
0,01
0,0001
0,32
-0,04
0,0016
0,13
-0,23
0,0529
0,35
-0,01
0,0001
0,53
0,17
0,0289
0,22
-0,14
0,0196
0,65
0,29
0,0841
Somando todos esses valores:
Então,
Passo 8
Agora que temos , e , podemos calcular o coeficiente de correlação :
Passo 9
Interpretação do Resultado:
O coeficiente de correlação indica uma forte correlação positiva entre o diâmetro das fibras (X) e o logaritmo da força de rompimento (Y). Isso significa que, geralmente, à medida que o diâmetro da fibra aumenta, o logaritmo da força de rompimento também tende a aumentar de forma significativa.
Resposta
A covariância entre X e Y é aproximadamente 0,5825 e o coeficiente de correlação é 0,823, indicando uma forte correlação positiva entre o diâmetro das fibras e o logaritmo da força de rompimento.