Calcule a covariância, o coeficiente de correlação e interprete o resultado.
Muitas vezes os dados devem ser transformados para que se obtenha uma relação linear entre a variável resposta e a variável explicativa. Os dados a seguir relacionam o diâmetro (X) de uma fibra eo logaritmo de base 10(Y) da força de rompimento. Os dados são:
X 22,5 28 27,5 25,5 22 30,5 23 25 23,5 27 21,5 22 29 20,5 27
Y 0,19 0,62 0,51 0,53 0,24 0,87 0,25 0,25 0,37 0,32 0,13 0,35 0,53 0,22 0,65

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a covariância e o coeficiente de correlação entre o diâmetro das fibras (X) e o logaritmo da força de rompimento (Y). A gente vai precisar entender o que são covariância e correlação, além de aplicar algumas fórmulas matemáticas básicas para esses cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a covariância. A covariância mede como duas variáveis variam juntas. Se a covariância for positiva, significa que quando uma aumenta, a outra também tende a aumentar. Se for negativa, uma tende a aumentar enquanto a outra diminui. A fórmula da covariância é:
Cov(X, Y) = sum (Xi - barX)(Yi - barY)n - 1
Onde:
  • e são os valores individuais das variáveis X e Y.
  • e são as médias das variáveis X e Y.
  • é o número de pares de dados.

Passo 3

Agora vamos calcular as médias de X e Y.
Primeiro, somamos todos os valores de X:
barX = 34715 approx 23,13
Então, a média de X ( barY = 5,4415 approx 0,36 ) é:
Agora, somamos todos os valores de Y:
Então, a média de Y ( ) é:

Passo 4

Agora vamos calcular cada termo para todos os 15 pares de dados e somar esses valores.
Vamos fazer passo a passo:
X_i Y_i X_i - Y_i - (X_i - )(Y_i - )
22,5 0,19 22,5 - 23,13 = -0,63 0,19 - 0,36 = -0,17 (-0,63)(-0,17) = 0,1071
28 0,62 28 - 23,13 = 4,87 0,62 - 0,36 = 0,26 (4,87)(0,26) = 1,2678
27,5 0,51 27,5 - 23,13 = 4,37 0,51 - 0,36 = 0,15 (4,37)(0,15) = 0,6555
25,5 0,53 25,5 - 23,13 = 2,37 0,53 - 0,36 = 0,17 (2,37)(0,17) = 0,4029
22 0,24 22 - 23,13 = -1,13 0,24 - 0,36 = -0,12 (-1,13)(-0,12) = 0,1356
30,5 0,87 30,5 - 23,13 = 7,37 0,87 - 0,36 = 0,51 (7,37)(0,51) = 3,7567
23 0,25 23 - 23,13 = -0,13 0,25 - 0,36 = -0,11 (-0,13)(-0,11) = 0,0143
25 0,25 25 - 23,13 = 1,87 0,25 - 0,36 = -0,11 (1,87)(-0,11) = -0,2057
23,5 0,37 23,5 - 23,13 = 0,37 0,37 - 0,36 = 0,01 (0,37)(0,01) = 0,0037
27 0,32 27 - 23,13 = 3,87 0,32 - 0,36 = -0,04 (3,87)(-0,04) = -0,1548
21,5 0,13 21,5 - 23,13 = -1,63 0,13 - 0,36 = -0,23 (-1,63)(-0,23) = 0,3749
22 0,35 22 - 23,13 = -1,13 0,35 - 0,36 = -0,01 (-1,13)(-0,01) = 0,0113
29 0,53 29 - 23,13 = 5,87 0,53 - 0,36 = 0,17 (5,87)(0,17) = 0,9979
20,5 0,22 20,5 - 23,13 = -2,63 0,22 - 0,36 = -0,14 (-2,63)(-0,14) = 0,3682
27 0,65 27 - 23,13 = 3,87 0,65 - 0,36 = 0,29 (3,87)(0,29) = 1,1223
Agora, somamos todos os valores da última coluna:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da covariância:
Cov(X, Y) = 8,15515 - 1 = 8,15514 approx 0,5825
Então, a covariância entre X e Y é aproximadamente 0,5825.

Passo 6

Agora, vamos calcular o coeficiente de correlação. Esse coeficiente varia entre -1 e 1 e indica a força e a direção da relação linear entre as duas variáveis. A fórmula do coeficiente de correlação r = Cov(X, Y)sigmaX sigmaY é:
Onde:
  • é a covariância que já calculamos.
  • é o desvio padrão de X.
  • é o desvio padrão de Y.

Passo 7

Primeiro, precisamos calcular o desvio padrão de X e de Y. O desvio padrão mede a dispersão dos dados em torno da média. A fórmula do desvio padrão é:
sigma = raizsum (Xi - barX)^2n - 1
Vamos calcular sigmaX = raiz162,260214 approx raiz11,5893 approx 3,403 :
Calculando sigmaY = raiz0,603414 approx raiz0,0431 approx 0,2076 para cada X:
X_i X_i - (X_i -
22,5 -0,63 0,3969
28 4,87 23,7169
27,5 4,37 19,0969
25,5 2,37 5,6169
22 -1,13 1,2769
30,5 7,37 54,3769
23 -0,13 0,0169
25 1,87 3,4969
23,5 0,37 0,1369
27 3,87 14,9769
21,5 -1,63 2,6569
22 -1,13 1,2769
29 5,87 34,4569
20,5 -2,63 6,9169
27 3,87 14,9769
Somando todos esses valores:
Então,
Agora, vamos calcular :
Calculando para cada Y:
Y_i Y_i - (Y_i -
0,19 -0,17 0,0289
0,62 0,26 0,0676
0,51 0,15 0,0225
0,53 0,17 0,0289
0,24 -0,12 0,0144
0,87 0,51 0,2601
0,25 -0,11 0,0121
0,25 -0,11 0,0121
0,37 0,01 0,0001
0,32 -0,04 0,0016
0,13 -0,23 0,0529
0,35 -0,01 0,0001
0,53 0,17 0,0289
0,22 -0,14 0,0196
0,65 0,29 0,0841
Somando todos esses valores:
Então,

Passo 8

Agora que temos r = 0,58253,403 times 0,2076 approx 0,58250,707 approx 0,823 , e , podemos calcular o coeficiente de correlação :

Passo 9

Interpretação do Resultado:
O coeficiente de correlação indica uma forte correlação positiva entre o diâmetro das fibras (X) e o logaritmo da força de rompimento (Y). Isso significa que, geralmente, à medida que o diâmetro da fibra aumenta, o logaritmo da força de rompimento também tende a aumentar de forma significativa.

Resposta

A covariância entre X e Y é aproximadamente 0,5825 e o coeficiente de correlação é 0,823, indicando uma forte correlação positiva entre o diâmetro das fibras e o logaritmo da força de rompimento.

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