Calcule a covariância, o coeficiente de correlação e interprete o resultado.
Muitas vezes os dados devem ser transformados para que se obtenha uma relação linear entre a variável resposta e a variável explicativa. Os dados a seguir relacionam o diâmetro
de uma fibra eo logaritmo de base
da força de rompimento. Os dados são:
X
22,5
28
27,5
25,5
22
30,5
23
25
23,5
27
21,5
22
29
20,5
27
Y
0,19
0,62
0,51
0,53
0,24
0,87
0,25
0,25
0,37
0,32
0,13
0,35
0,53
0,22
0,65
Muitas vezes os dados devem ser transformados para que se obtenha uma relação linear entre a variável resposta e a variável explicativa. Os dados a seguir relacionam o diâmetro
X | 22,5 | 28 | 27,5 | 25,5 | 22 | 30,5 | 23 | 25 | 23,5 | 27 | 21,5 | 22 | 29 | 20,5 | 27 |
Y | 0,19 | 0,62 | 0,51 | 0,53 | 0,24 | 0,87 | 0,25 | 0,25 | 0,37 | 0,32 | 0,13 | 0,35 | 0,53 | 0,22 | 0,65 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a covariância e o coeficiente de correlação entre o diâmetro das fibras (X) e o logaritmo da força de rompimento (Y). A gente vai precisar entender o que são covariância e correlação, além de aplicar algumas fórmulas matemáticas básicas para esses cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a covariância. A covariância mede como duas variáveis variam juntas. Se a covariância for positiva, significa que quando uma aumenta, a outra também tende a aumentar. Se for negativa, uma tende a aumentar enquanto a outra diminui. A fórmula da covariância é:
Onde:
-
e são os valores individuais das variáveis X e Y. -
e são as médias das variáveis X e Y. -
é o número de pares de dados.
Passo 3
Agora vamos calcular as médias de X e Y.
Primeiro, somamos todos os valores de X:
Então, a média de X (
) é:
Agora, somamos todos os valores de Y:
Então, a média de Y (
) é:
Passo 4
Agora vamos calcular cada termo
para todos os 15 pares de dados e somar esses valores.
Vamos fazer passo a passo:
X_i | Y_i | X_i -
|
Y_i -
|
(X_i -
|
---|---|---|---|---|
22,5 | 0,19 | 22,5 - 23,13 = -0,63 | 0,19 - 0,36 = -0,17 | (-0,63)(-0,17) = 0,1071 |
28 | 0,62 | 28 - 23,13 = 4,87 | 0,62 - 0,36 = 0,26 | (4,87)(0,26) = 1,2678 |
27,5 | 0,51 | 27,5 - 23,13 = 4,37 | 0,51 - 0,36 = 0,15 | (4,37)(0,15) = 0,6555 |
25,5 | 0,53 | 25,5 - 23,13 = 2,37 | 0,53 - 0,36 = 0,17 | (2,37)(0,17) = 0,4029 |
22 | 0,24 | 22 - 23,13 = -1,13 | 0,24 - 0,36 = -0,12 | (-1,13)(-0,12) = 0,1356 |
30,5 | 0,87 | 30,5 - 23,13 = 7,37 | 0,87 - 0,36 = 0,51 | (7,37)(0,51) = 3,7567 |
23 | 0,25 | 23 - 23,13 = -0,13 | 0,25 - 0,36 = -0,11 | (-0,13)(-0,11) = 0,0143 |
25 | 0,25 | 25 - 23,13 = 1,87 | 0,25 - 0,36 = -0,11 | (1,87)(-0,11) = -0,2057 |
23,5 | 0,37 | 23,5 - 23,13 = 0,37 | 0,37 - 0,36 = 0,01 | (0,37)(0,01) = 0,0037 |
27 | 0,32 | 27 - 23,13 = 3,87 | 0,32 - 0,36 = -0,04 | (3,87)(-0,04) = -0,1548 |
21,5 | 0,13 | 21,5 - 23,13 = -1,63 | 0,13 - 0,36 = -0,23 | (-1,63)(-0,23) = 0,3749 |
22 | 0,35 | 22 - 23,13 = -1,13 | 0,35 - 0,36 = -0,01 | (-1,13)(-0,01) = 0,0113 |
29 | 0,53 | 29 - 23,13 = 5,87 | 0,53 - 0,36 = 0,17 | (5,87)(0,17) = 0,9979 |
20,5 | 0,22 | 20,5 - 23,13 = -2,63 | 0,22 - 0,36 = -0,14 | (-2,63)(-0,14) = 0,3682 |
27 | 0,65 | 27 - 23,13 = 3,87 | 0,65 - 0,36 = 0,29 | (3,87)(0,29) = 1,1223 |
Agora, somamos todos os valores da última coluna:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da covariância:
Então, a covariância entre X e Y é aproximadamente 0,5825.
Passo 6
Agora, vamos calcular o coeficiente de correlação. Esse coeficiente varia entre -1 e 1 e indica a força e a direção da relação linear entre as duas variáveis. A fórmula do coeficiente de correlação
é:
Onde:
-
é a covariância que já calculamos. -
é o desvio padrão de X. -
é o desvio padrão de Y.
Passo 7
Primeiro, precisamos calcular o desvio padrão de X e de Y. O desvio padrão mede a dispersão dos dados em torno da média. A fórmula do desvio padrão é:
Vamos calcular
:
Calculando
para cada X:
X_i | X_i -
|
(X_i -
|
---|---|---|
22,5 | -0,63 | 0,3969 |
28 | 4,87 | 23,7169 |
27,5 | 4,37 | 19,0969 |
25,5 | 2,37 | 5,6169 |
22 | -1,13 | 1,2769 |
30,5 | 7,37 | 54,3769 |
23 | -0,13 | 0,0169 |
25 | 1,87 | 3,4969 |
23,5 | 0,37 | 0,1369 |
27 | 3,87 | 14,9769 |
21,5 | -1,63 | 2,6569 |
22 | -1,13 | 1,2769 |
29 | 5,87 | 34,4569 |
20,5 | -2,63 | 6,9169 |
27 | 3,87 | 14,9769 |
Somando todos esses valores:
Então,
Agora, vamos calcular
:
Calculando
para cada Y:
Y_i | Y_i -
|
(Y_i -
|
---|---|---|
0,19 | -0,17 | 0,0289 |
0,62 | 0,26 | 0,0676 |
0,51 | 0,15 | 0,0225 |
0,53 | 0,17 | 0,0289 |
0,24 | -0,12 | 0,0144 |
0,87 | 0,51 | 0,2601 |
0,25 | -0,11 | 0,0121 |
0,25 | -0,11 | 0,0121 |
0,37 | 0,01 | 0,0001 |
0,32 | -0,04 | 0,0016 |
0,13 | -0,23 | 0,0529 |
0,35 | -0,01 | 0,0001 |
0,53 | 0,17 | 0,0289 |
0,22 | -0,14 | 0,0196 |
0,65 | 0,29 | 0,0841 |
Somando todos esses valores:
Então,
Passo 8
Agora que temos
,
e
, podemos calcular o coeficiente de correlação
:
Passo 9
Interpretação do Resultado:
O coeficiente de correlação
indica uma forte correlação positiva entre o diâmetro das fibras (X) e o logaritmo da força de rompimento (Y). Isso significa que, geralmente, à medida que o diâmetro da fibra aumenta, o logaritmo da força de rompimento também tende a aumentar de forma significativa.
Resposta
A covariância entre X e Y é aproximadamente 0,5825 e o coeficiente de correlação é 0,823, indicando uma forte correlação positiva entre o diâmetro das fibras e o logaritmo da força de rompimento.