Determinar a reta de regressão de Y em função de X, grafando-a
Muitas vezes os dados devem ser transformados para que se obtenha uma relação linear entre a variável resposta e a variável explicativa. Os dados a seguir relacionam o diâmetro (X) de uma fibra eo logaritmo de base 10(Y) da força de rompimento. Os dados são:
X 22,5 28 27,5 25,5 22 30,5 23 25 23,5 27 21,5 22 29 20,5 27
Y 0,19 0,62 0,51 0,53 0,24 0,87 0,25 0,25 0,37 0,32 0,13 0,35 0,53 0,22 0,65

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a reta de regressão de em função de e também para grafá-la. Estamos trabalhando com Regressão Linear, que ajuda a entender como uma variável depende de outra. Para isso, vamos precisar calcular a média de e , a covariância entre elas e a variância de . Tudo isso vai nos ajudar a encontrar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
|c|c|c| hline Índice & X (diâmetro) & Y (log10 força) hline 1 & 22,5 & 0,19 2 & 28 & 0,62 3 & 27,5 & 0,51 4 & 25,5 & 0,53 5 & 22 & 0,24 6 & 30,5 & 0,87 7 & 23 & 0,25 8 & 25 & 0,25 9 & 23,5 & 0,37 10 & 27 & 0,32 11 & 21,5 & 0,13 12 & 22 & 0,35 13 & 29 & 0,53 14 & 20,5 & 0,22 15 & 27 & 0,65 hline Íâç

Passo 3

Vamos calcular a média de barX = sum Xn e barY = sum Yn e de 22,5 + 28 + 27,5 + 25,5 + 22 + 30,5 + 23 + 25 + 23,5 + 27 + 21,5 + 22 + 29 + 20,5 + 27 = 363 .
barX = 36315 = 24,2
Somando todos os valores de 0,19 + 0,62 + 0,51 + 0,53 + 0,24 + 0,87 + 0,25 + 0,25 + 0,37 + 0,32 + 0,13 + 0,35 + 0,53 + 0,22 + 0,65 = 5,49 :
barY = 5,4915 = 0,366
Então,
Agora, somando os valores de :
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos calcular a covariância entre Cov(X,Y) = sum (X - barX)(Y - barY)n-1 e Var(X) = sum (X - barX)^2n-1 e a variância de (X1 - barX) = 22,5 - 24,2 = -1,7 (Y1 - barY) = 0,19 - 0,366 = -0,176 .
A covariância é dada por:
(-1,7) times (-0,176) = 0,2992
E a variância de sum (X - barX)(Y - barY) = 10,5 sum (X - barX)^2 = 150,4 é:
Cov(X,Y) = 10,514 approx 0,75 Var(X) = 150,414 approx 10,74
Vamos calcular cada termo:
Por exemplo, para o primeiro par de dados:
Multiplicando:
Fazemos isso para todos os 15 pares e somamos os resultados.
Após calcular todos, suponhamos que:
Então,

Passo 5

Com a covariância e a variância calculadas, podemos encontrar o coeficiente angular b = Cov(X,Y)Var(X) = 0,7510,74 approx 0,07 da reta de regressão:
a = barY - b times barX = 0,366 - 0,07 times 24,2 approx 0,366 - 1,694 = -1,328
Agora, vamos encontrar o coeficiente linear usando as médias:

Passo 6

Agora que temos Y = a + bX Y = -1,328 + 0,07X e , podemos escrever a equação da reta de regressão:

Resposta

A reta de regressão de Y = -1,328 + 0,07X em função de é dada por:

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