Demonstre que
Esta expressão aparece no exemplo da subseção ©, da seção 4.3, e do capítulo 4 de nosso livro. Sugestão: escreva
, desenvolva a função cosseno, e tome o limite apropriadamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa mostrar aqui é que o limite da expressão
é igual a derivada de
em relação a
avaliada em
, que dá
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limite e derivada, além de uma dica de substituir
por
. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por
. Isso ajuda a simplificar a expressão quando
tende a zero (já que
está se aproximando de
). Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, a gente vai usar a identidade trigonométrica para a diferença de cossenos:
Aplicando isso na nossa expressão, com
e
, temos:
Simplificando:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão original:
Podemos reescrever isso como:
Passo 5
Observamos que quando
, o termo
. Sabemos que:
Aplicando isso, temos:
Passo 6
Também, para o outro termo:
Porque
, então
.
Passo 7
Agora, juntando tudo:
Resposta
Portanto,
Exercícios relacionados
Determinar a reta de regressão de
em função de
, grafando-a
Muitas vezes os dados devem ser transformados para que se obtenha uma relação linear entre a variável resposta e a variável explicativa. Os dados a seguir relacionam o diâmetro de uma fibra eo logaritmo de base
da força de rompimento. Os dados são:
Muitas vezes os dados devem ser transformados para que se obtenha uma relação linear entre a variável resposta e a variável explicativa. Os dados a seguir relacionam o diâmetro
X | 22,5 | 28 | 27,5 | 25,5 | 22 | 30,5 | 23 | 25 | 23,5 | 27 | 21,5 | 22 | 29 | 20,5 | 27 |
Y | 0,19 | 0,62 | 0,51 | 0,53 | 0,24 | 0,87 | 0,25 | 0,25 | 0,37 | 0,32 | 0,13 | 0,35 | 0,53 | 0,22 | 0,65 |
Calcule a covariância, o coeficiente de correlação e interprete o resultado.
Muitas vezes os dados devem ser transformados para que se obtenha uma relação linear entre a variável resposta e a variável explicativa. Os dados a seguir relacionam o diâmetro de uma fibra eo logaritmo de base
da força de rompimento. Os dados são:
Muitas vezes os dados devem ser transformados para que se obtenha uma relação linear entre a variável resposta e a variável explicativa. Os dados a seguir relacionam o diâmetro
X | 22,5 | 28 | 27,5 | 25,5 | 22 | 30,5 | 23 | 25 | 23,5 | 27 | 21,5 | 22 | 29 | 20,5 | 27 |
Y | 0,19 | 0,62 | 0,51 | 0,53 | 0,24 | 0,87 | 0,25 | 0,25 | 0,37 | 0,32 | 0,13 | 0,35 | 0,53 | 0,22 | 0,65 |
No problema anterior, vimos que, no caso crítico
, umas das soluções da equação diferencial do oscilador harmônico,
é dada por
, e a outra, que não é um múltipla da primeira, é dada por
(por não serem múltiplas, elas são chamadas de independentes). Para obtermos esta segunda solução, utilizemos um método desenvolvido pelo matemático francês J. d(i) Suponha que a segunda solução seja dada por
onde
é um valor a determinar. A partir desta expressão, calcule as derivadas
, e
em função das derivadas
e
;
(ii) Substitua os resultados encontrados no item (i) na equação (1), e resolva a equação diferencial envolvendo ;
(iii) Substitua o valor encontrado no item (ii) em (2), e obtenha a solução geral
a partir da superposição de
e
.
(ii) Substitua os resultados encontrados no item (i) na equação (1), e resolva a equação diferencial envolvendo
(iii) Substitua o valor
Um armazém é abastecido mensalmente, sendo que a taxa média de abastecimento é 30 unidades/dia, com desvio padrão de 3 unidades/dia. A demanda média é de 25 unidades/dia, com desvio padrão de 4 unidades/dia. Suponha que o abastecimento e a demanda sejam independentes e, além disso, a demanda e o abastecimento num dia não alteram o abastecimento e a demanda nos dias seguintes. Qual é o valor esperado e o desvio padrão do excedente de produtos, no período de um mês?