Demonstre que
Esta expressão aparece no exemplo da subseção ©, da seção 4.3, e do capítulo 4 de nosso livro. Sugestão: escreva , desenvolva a função cosseno, e tome o limite apropriadamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa mostrar aqui é que o limite da expressão
é igual a derivada de em relação a avaliada em , que dá . Para resolver isso, vamos usar o conceito de limite e derivada, além de uma dica de substituir por . Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por . Isso ajuda a simplificar a expressão quando tende a zero (já que está se aproximando de ). Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, a gente vai usar a identidade trigonométrica para a diferença de cossenos:
Aplicando isso na nossa expressão, com e , temos:
Simplificando:

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original:
Podemos reescrever isso como:

Passo 5

Observamos que quando , o termo . Sabemos que:
Aplicando isso, temos:

Passo 6

Também, para o outro termo:
Porque , então .

Passo 7

Agora, juntando tudo:

Resposta

Portanto,

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Determinar a reta de regressão de em função de , grafando-a
Muitas vezes os dados devem ser transformados para que se obtenha uma relação linear entre a variável resposta e a variável explicativa. Os dados a seguir relacionam o diâmetro de uma fibra eo logaritmo de base da força de rompimento. Os dados são:
X 22,5 28 27,5 25,5 22 30,5 23 25 23,5 27 21,5 22 29 20,5 27
Y 0,19 0,62 0,51 0,53 0,24 0,87 0,25 0,25 0,37 0,32 0,13 0,35 0,53 0,22 0,65
Calcule a covariância, o coeficiente de correlação e interprete o resultado.
Muitas vezes os dados devem ser transformados para que se obtenha uma relação linear entre a variável resposta e a variável explicativa. Os dados a seguir relacionam o diâmetro de uma fibra eo logaritmo de base da força de rompimento. Os dados são:
X 22,5 28 27,5 25,5 22 30,5 23 25 23,5 27 21,5 22 29 20,5 27
Y 0,19 0,62 0,51 0,53 0,24 0,87 0,25 0,25 0,37 0,32 0,13 0,35 0,53 0,22 0,65
No problema anterior, vimos que, no caso crítico , umas das soluções da equação diferencial do oscilador harmônico,
é dada por , e a outra, que não é um múltipla da primeira, é dada por (por não serem múltiplas, elas são chamadas de independentes). Para obtermos esta segunda solução, utilizemos um método desenvolvido pelo matemático francês J. d(i) Suponha que a segunda solução seja dada por
onde é um valor a determinar. A partir desta expressão, calcule as derivadas , e em função das derivadas e ;
(ii) Substitua os resultados encontrados no item (i) na equação (1), e resolva a equação diferencial envolvendo ;
(iii) Substitua o valor encontrado no item (ii) em (2), e obtenha a solução geral a partir da superposição de e .
Um armazém é abastecido mensalmente, sendo que a taxa média de abastecimento é 30 unidades/dia, com desvio padrão de 3 unidades/dia. A demanda média é de 25 unidades/dia, com desvio padrão de 4 unidades/dia. Suponha que o abastecimento e a demanda sejam independentes e, além disso, a demanda e o abastecimento num dia não alteram o abastecimento e a demanda nos dias seguintes. Qual é o valor esperado e o desvio padrão do excedente de produtos, no período de um mês?