Em cada caso calcule o comprimento do arco indicado:
y + 1/(4 x) + x^3/3 = 0, 2 <= x <= 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva definida pela equação no intervalo de de 2 a 3. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a fórmula para o comprimento de arco de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar o na equação para facilitar o uso da fórmula do comprimento do arco. A equação dada é:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 3

Agora que temos em função de , vamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, . Isso é necessário porque a fórmula do comprimento do arco envolve a derivada da função.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o quadrado da derivada :

Passo 5

A fórmula para o comprimento do arco de uma função no intervalo de a é dada por:
Substituindo que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, o comprimento do arco fica:

Resposta

O comprimento do arco da curva no intervalo de a é dado pela integral:
Para obter o valor numérico, seria necessário resolver essa integral, possivelmente utilizando métodos numéricos ou uma calculadora avançada.

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