Em cada caso calcule o comprimento do arco indicado:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva definida pela equação
no intervalo de
de 2 a 3. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a fórmula para o comprimento de arco de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar o
na equação para facilitar o uso da fórmula do comprimento do arco. A equação dada é:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 3
Agora que temos
em função de
, vamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Isso é necessário porque a fórmula do comprimento do arco envolve a derivada da função.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o quadrado da derivada
:
Passo 5
A fórmula para o comprimento do arco
de uma função
no intervalo de
a
é dada por:
Substituindo
que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, o comprimento do arco fica:
Resposta
O comprimento do arco da curva no intervalo de
a
é dado pela integral:
Para obter o valor numérico, seria necessário resolver essa integral, possivelmente utilizando métodos numéricos ou uma calculadora avançada.
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