Calcule PELA DEFINIÇÃO a derivada da função f(x) = 1/x no ponto x = 2. (Até 4 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema que pede para calcular a derivada da função no ponto usando a definição de derivada. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivada pela definição. Para isso, vamos precisar entender a fórmula da derivada pelo limite.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função no ponto é dada por:
Isso significa que para encontrar a derivada no ponto , a gente calcula o limite da variação da função quando tende a zero.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função no ponto . Substituindo por 2 na fórmula da derivada, temos:

Passo 4

Vamos calcular e :
Substituindo esses valores na fórmula:

Passo 5

Para simplificar a expressão, vamos calcular a diferença dos dois termos no numerador:
Então, a expressão da derivada fica:

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite colocando :

Resposta

A derivada da função no ponto é .

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