Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da curva dada:
Aqui, estamos lidando com cálculo de derivadas em funções vetoriais. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação para funções racionais, logarítmicas e constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a componente na direção de :
Essa é uma função racional, ou seja, uma fração onde polinômios estão no numerador e no denominador. Para derivar isso, usamos a Regra do Quociente, que diz que se temos uma função , sua derivada é:

Passo 3

Vamos identificar e :
Aplicando a Regra do Quociente:

Passo 4

Agora vamos simplificar o numerador:
Subtraindo:
Então, a derivada da componente fica:

Passo 5

Agora, vamos derivar a componente na direção de :
Para isso, usamos a Regra da Cadeia, que é para funções compostas. A derivada de é . Aqui, .
Então,

Passo 6

Por último, a componente na direção de é:
Como é uma constante, sua derivada é zero.

Resposta

A derivada da curva é:

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Compare as frações.
e
Compare as frações.
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Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:
Simplifique as frações abaixo.