Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a derivada da curva dada pela função vetorial . Isso está relacionado com o conteúdo de Cálculo Diferencial, onde a gente aprende a encontrar como uma função muda em relação a uma variável, que nesse caso é o tempo . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação para funções básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar cada componente da função vetorial separadamente. A função é dada por:
Temos três partes aqui: a componente , a e a . Vamos derivar cada uma delas individualmente.

Passo 3

Vamos começar com a componente : . Para derivar essa parte, usamos a regra do produto, que diz que se você tem uma função que é o produto de duas funções, a derivada dela é a derivada da primeira função vezes a segunda mais a primeira função vezes a derivada da segunda. Ou seja:
Sabemos que e . Então:

Passo 4

Agora, vamos para a componente : . A derivada de uma função exponencial , onde é uma constante, é . Então, para :

Passo 5

Por fim, vamos derivar a componente : . A derivada de é . Então:

Resposta

Juntando tudo, a derivada da curva é:

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Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:
Compare as frações.
e
Simplifique as frações abaixo.
Simplifique as frações abaixo.