Calcule a derivada direcional, em cada ponto, e na direção de cada vetor.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas direcionais, gradientes e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é a derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função
em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, usamos o gradiente da função e o vetor que representa a direção.
Passo 3
O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a
e
. Vamos calcular o gradiente de
:
Passo 4
Agora, precisamos normalizar o vetor direção
. Normalizar um vetor significa ajustá-lo para ter comprimento 1, mantendo a mesma direção. A fórmula para normalizar um vetor
é:
Onde
é a norma (comprimento) do vetor, calculada por:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 5
Com o gradiente e o vetor unitário prontos, podemos calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre eles:
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.