Calcule a derivada direcional, em cada ponto, e na direção de cada vetor.
f(x, y) = 4 - x - y, P = (1, 1), v = (1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas direcionais, gradientes e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é a derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, usamos o gradiente da função e o vetor que representa a direção.

Passo 3

O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a e . Vamos calcular o gradiente de :

Passo 4

Agora, precisamos normalizar o vetor direção . Normalizar um vetor significa ajustá-lo para ter comprimento 1, mantendo a mesma direção. A fórmula para normalizar um vetor é:
Onde é a norma (comprimento) do vetor, calculada por:
Então, o vetor unitário é:

Passo 5

Com o gradiente e o vetor unitário prontos, podemos calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre eles:

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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