Equações lineares de primeira ordem
d y/d x - y = 2 x e^(2 x) ; y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem:
Isso é uma equação linear de primeira ordem, que a gente resolve usando um fator integrante. Vamos precisar lembrar como achar esse fator e aplicar na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão:
No nosso caso,

Passo 3

Agora, a gente precisa achar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

A equação agora fica:
O lado esquerdo é a derivada do produto , ou seja:

Passo 6

Vamos integrar os dois lados em relação a :
Do lado esquerdo, a integral da derivada é só . Do lado direito, usamos integração por partes:
Então:

Passo 7

Agora, vamos isolar :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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