Calcule a derivada direcional nos seguintes casos:
© e .

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a derivada direcional de uma função no ponto na direção do vetor . A matéria envolvida é cálculo multivariável, mais especificamente derivadas direcionais. Vamos precisar da definição de derivada direcional e do gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional é calculada usando o gradiente da função e o vetor direção normalizado. A fórmula é:
Onde representa o produto escalar.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é o vetor das derivadas parciais:

Passo 4

Calculando cada derivada parcial:
Para :
Para :
Para :

Passo 5

No ponto , substituímos , , na expressão do gradiente:

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar :

Resposta

A derivada direcional no ponto na direção de é .

Exercícios relacionados

Calcule a derivada direcional da função , no ponto , na direção indicada.
(b) na direção da reta .
Calcule os limites a seguir:
(i)
Sabendo que , calcule , caso exista.
Calcule os limites a seguir:
(f)