Calcule a derivada direcional da função , no ponto , na direção indicada.
(b) na direção da reta .

Passo 1

Vamos resolver o exercício de calcular a derivada direcional da função no ponto na direção da reta definida pelo vetor .
Aqui, estamos trabalhando com derivadas direcionais, que nos mostram como a função muda em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para isso, vamos precisar entender:
  • Como encontrar o vetor direcional normalizado.
  • Como calcular o gradiente da função.
  • Como aplicar a fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, precisamos normalizar o vetor direcional . Normalizar um vetor significa transformá-lo em um vetor unitário (com comprimento 1) mantendo sua direção.
A fórmula para normalizar o vetor é:
onde é o comprimento do vetor .
Calculando o comprimento de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e cujas componentes são as derivadas parciais da função em relação a e .
As derivadas parciais são:
Assim, o gradiente é:

Passo 4

Vamos avaliar o gradiente no ponto :
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Finalmente, usamos a fórmula da derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente com o vetor direcional normalizado:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção da reta é .

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(i)
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(g)
Calcule a derivada direcional nos seguintes casos:
© e .
Sabendo que , calcule , caso exista.