Calcule a derivada direcional da função , no ponto , na direção indicada.
(b) na direção da reta .
Passo 1
Vamos resolver o exercício de calcular a derivada direcional da função no ponto na direção da reta definida pelo vetor .
Aqui, estamos trabalhando com derivadas direcionais, que nos mostram como a função muda em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para isso, vamos precisar entender:
Como encontrar o vetor direcional normalizado.
Como calcular o gradiente da função.
Como aplicar a fórmula da derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, precisamos normalizar o vetor direcional. Normalizar um vetor significa transformá-lo em um vetor unitário (com comprimento 1) mantendo sua direção.
A fórmula para normalizar o vetor é:
onde é o comprimento do vetor .
Calculando o comprimento de :
Então, o vetor unitário é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e cujas componentes são as derivadas parciais da função em relação a e .
As derivadas parciais são:
Assim, o gradiente é:
Passo 4
Vamos avaliar o gradiente no ponto :
Portanto, o gradiente no ponto é:
Passo 5
Finalmente, usamos a fórmula da derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente com o vetor direcional normalizado:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto na direção da reta é .