Calcule a derivada da função dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, mais especificamente com a derivada de uma função racional. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente, que é uma técnica para derivar funções que são uma divisão de duas outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. No caso de
:
- Numerador (
): - Denominador (
):
Passo 3
Agora, vamos lembrar da Regra do Quociente. Se temos uma função
, a derivada
é dada por:
Isso significa que precisamos calcular a derivada do numerador (
) e a derivada do denominador (
).
Passo 4
Vamos calcular
, a derivada de
. Usamos as regras básicas de derivação:
Aqui, a derivada de
é
, e a constante 5 desaparece porque a derivada de uma constante é zero.
Passo 5
Agora, vamos calcular
, a derivada de
:
Mais uma vez, a derivada da constante 1 é zero.
Passo 6
Com
e
, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Passo 7
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, multiplique
por
:
Depois, multiplique
por
:
Agora, subtraia o segundo resultado do primeiro:
Passo 8
Assim, a derivada fica:
Podemos fatorar um 10x no numerador para simplificar:
Resposta
A derivada da função
é:
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