Calcule a derivada da função dada:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, mais especificamente com a derivada de uma função racional. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente, que é uma técnica para derivar funções que são uma divisão de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. No caso de :
  • Numerador ( ):
  • Denominador ( ):

Passo 3

Agora, vamos lembrar da Regra do Quociente. Se temos uma função , a derivada é dada por:
Isso significa que precisamos calcular a derivada do numerador ( ) e a derivada do denominador ( ).

Passo 4

Vamos calcular , a derivada de . Usamos as regras básicas de derivação:
Aqui, a derivada de é , e a constante 5 desaparece porque a derivada de uma constante é zero.

Passo 5

Agora, vamos calcular , a derivada de :
Mais uma vez, a derivada da constante 1 é zero.

Passo 6

Com e , vamos aplicar a Regra do Quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, multiplique por :
Depois, multiplique por :
Agora, subtraia o segundo resultado do primeiro:

Passo 8

Assim, a derivada fica:
Podemos fatorar um 10x no numerador para simplificar:

Resposta

A derivada da função é:

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