Estenda a definição de MDC para definir mdc(a1, a2, ..., an). Mostre que mdc(a1, a2, ..., an) = mdc(a1, a2, ..., mdc(an-1, an))

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o que o enunciado está pedindo é para a gente estender a definição de MDC (Máximo Divisor Comum) para mais de dois números, ou seja, definir mdc(a1, a2, ..., an). Depois, temos que mostrar que esse mdc de vários números pode ser calculado de forma que o último passo envolva o mdc do penúltimo e do último número da lista. Para resolver isso, vamos precisar entender como o mdc funciona e usar propriedades dele para fazer a demonstração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como definimos o MDC para dois números. O é o maior número que divide tanto a quanto b. Agora, para estender isso para n números, a gente define mdc(a1, a2, ..., an) como o maior número que divide todos esses n números simultaneamente.

Passo 3

Agora, vamos usar uma propriedade importante do MDC: ele é associativo. Isso significa que o modo como agrupamos os números não altera o resultado do mdc. Em termos matemáticos, temos:
Essa propriedade vai ser fundamental para a nossa demonstração.

Passo 4

Vamos aplicar a propriedade associativa para n números. Podemos agrupar os primeiros n - 1 números e depois calcular o mdc com o resultado desse grupo e o último número. Ou seja:
Mas queremos mostrar que isso também é igual a:

Passo 5

Para chegar lá, vamos usar novamente a associatividade do MDC. Se aplicarmos a associatividade de forma ligeiramente diferente, podemos reescrever a expressão:
Isso acontece porque, independentemente da ordem em que calculamos os mdc’s, o resultado final será o mesmo devido à propriedade associativa.

Resposta

Portanto, mostramos que:

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