Estenda a definição de
para definir
. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o que o enunciado está pedindo é para a gente estender a definição de
(Máximo Divisor Comum) para mais de dois números, ou seja, definir
. Depois, temos que mostrar que esse mdc de vários números pode ser calculado de forma que o último passo envolva o mdc do penúltimo e do último número da lista. Para resolver isso, vamos precisar entender como o mdc funciona e usar propriedades dele para fazer a demonstração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como definimos o
para dois números. O
é o maior número que divide tanto
quanto
. Agora, para estender isso para
números, a gente define
como o maior número que divide todos esses
números simultaneamente.
Passo 3
Agora, vamos usar uma propriedade importante do
: ele é associativo. Isso significa que o modo como agrupamos os números não altera o resultado do mdc. Em termos matemáticos, temos:
Essa propriedade vai ser fundamental para a nossa demonstração.
Passo 4
Vamos aplicar a propriedade associativa para
números. Podemos agrupar os primeiros
números e depois calcular o mdc com o resultado desse grupo e o último número. Ou seja:
Mas queremos mostrar que isso também é igual a:
Passo 5
Para chegar lá, vamos usar novamente a associatividade do
. Se aplicarmos a associatividade de forma ligeiramente diferente, podemos reescrever a expressão:
Isso acontece porque, independentemente da ordem em que calculamos os mdc’s, o resultado final será o mesmo devido à propriedade associativa.
Resposta
Portanto, mostramos que:
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Calcule a derivada da função dada:
Mostre que não existem três primos ímpares consecutivos além de
Encontre um valor de
tal que a equação Diofantina
tenha exatamente 9 soluções com
.