Estenda a definição de para definir . Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o que o enunciado está pedindo é para a gente estender a definição de (Máximo Divisor Comum) para mais de dois números, ou seja, definir . Depois, temos que mostrar que esse mdc de vários números pode ser calculado de forma que o último passo envolva o mdc do penúltimo e do último número da lista. Para resolver isso, vamos precisar entender como o mdc funciona e usar propriedades dele para fazer a demonstração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como definimos o para dois números. O é o maior número que divide tanto quanto . Agora, para estender isso para números, a gente define como o maior número que divide todos esses números simultaneamente.

Passo 3

Agora, vamos usar uma propriedade importante do : ele é associativo. Isso significa que o modo como agrupamos os números não altera o resultado do mdc. Em termos matemáticos, temos:
Essa propriedade vai ser fundamental para a nossa demonstração.

Passo 4

Vamos aplicar a propriedade associativa para números. Podemos agrupar os primeiros números e depois calcular o mdc com o resultado desse grupo e o último número. Ou seja:
Mas queremos mostrar que isso também é igual a:

Passo 5

Para chegar lá, vamos usar novamente a associatividade do . Se aplicarmos a associatividade de forma ligeiramente diferente, podemos reescrever a expressão:
Isso acontece porque, independentemente da ordem em que calculamos os mdc’s, o resultado final será o mesmo devido à propriedade associativa.

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Encontre um valor de tal que a equação Diofantina tenha exatamente 9 soluções com .