Mostre que em toda lista com
inteiros consecutivos sempre existirá um elemento divisível por
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Ela diz que, em qualquer lista com
números inteiros consecutivos, sempre haverá pelo menos um número que é divisível por
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de divisibilidade e congruências na matéria de Matemática.
Passo 2
Vamos pensar em números consecutivos como uma sequência onde cada número é um a mais que o anterior. Por exemplo, se
, uma lista de 3 números consecutivos poderia ser 4, 5, 6.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que um número é divisível por
se, ao dividi-lo por
, o resto for zero. Em termos de congruência, isso significa que o número é congruente a 0 módulo
, ou seja,
.
Passo 4
Considere uma lista de
números consecutivos começando por algum inteiro qualquer
. A lista seria:
,
,
, …,
.
Passo 5
Vamos analisar cada um desses números em relação a
. Quando dividimos cada número por
, os possíveis restos são
. Como temos exatamente
números na lista, cada número vai ter um resto diferente quando dividido por
.
Passo 6
Isso significa que, entre esses restos, um deles será 0. Portanto, há pelo menos um número na lista que, quando dividido por
, não deixa resto, ou seja, é divisível por
.
Resposta
Assim, demonstramos que em qualquer lista com
inteiros consecutivos sempre existe pelo menos um elemento que é divisível por
.