Mostre que em toda lista com k inteiros consecutivos sempre existirá um elemento divisível por k.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Ela diz que, em qualquer lista com k números inteiros consecutivos, sempre haverá pelo menos um número que é divisível por k. Para resolver isso, vamos usar conceitos de divisibilidade e congruências na matéria de Matemática.

Passo 2

Vamos pensar em números consecutivos como uma sequência onde cada número é um a mais que o anterior. Por exemplo, se , uma lista de 3 números consecutivos poderia ser 4, 5, 6.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que um número é divisível por k se, ao dividi-lo por k, o resto for zero. Em termos de congruência, isso significa que o número é congruente a 0 módulo k, ou seja, .

Passo 4

Considere uma lista de k números consecutivos começando por algum inteiro qualquer n. A lista seria: n, n + 1, , …, .

Passo 5

Vamos analisar cada um desses números em relação a k. Quando dividimos cada número por k, os possíveis restos são . Como temos exatamente k números na lista, cada número vai ter um resto diferente quando dividido por k.

Passo 6

Isso significa que, entre esses restos, um deles será 0. Portanto, há pelo menos um número na lista que, quando dividido por k, não deixa resto, ou seja, é divisível por k.

Resposta

Assim, demonstramos que em qualquer lista com k inteiros consecutivos sempre existe pelo menos um elemento que é divisível por k.

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