Calcule a derivada das funções f(x)=integral0^2 x 4 t^3+1 d t e g(x)=integral-x^x u^3 cos u d u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada das funções e . Vamos usar o conceito de derivadas de funções definidas por integrais, conhecido como Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de .
Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos , então a derivada é .
No nosso caso, e . Como é constante, .

Passo 3

Aplicando o teorema:
f'(x) = h(b(x)) cdot b'(x) = (4(2x)^3 + 1) cdot 2
Simplificando:
f'(x) = (4 cdot 8x^3 + 1) cdot 2 = (32x^3 + 1) cdot 2 = 64x^3 + 2

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de .
Usando o mesmo teorema, onde e . Portanto, e .

Passo 5

Aplicando o teorema:
g'(x) = h(b(x)) cdot b'(x) - h(a(x)) cdot a'(x) = (x^3 cos x) cdot 1 - ((-x)^3 cos (-x)) cdot (-1)
Simplificando:
Como g'(x) = x^3 cos x - (-x^3 cos x) cdot (-1) = x^3 cos x - x^3 cos x = 0 e , temos:

Resposta

A derivada das funções são:
f'(x) = 64x^3 + 2
g'(x) = 0

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