Calcule: integral0^pi4 4 sen^3 x cos x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular . A gente vai precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais que parecem complicadas à primeira vista.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos chamar de . Aqui, percebo que temos e . Vamos escolher , porque a derivada de é , que já está na integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular du = cos x , dx . Se , então derivando ambos os lados em relação a , temos:
Isso significa que , o que simplifica nossa integral.

Passo 4

Substituindo integral0^pi4 4 sin^3 x cos x , dx = 4 integralu(0)^u(pi4) u^3 , du e na integral original, temos:
Aqui, precisamos calcular os novos limites de integração quando fazemos a substituição.

Passo 5

Vamos agora encontrar os novos limites de integração:
  • Quando u = sin 0 = 0 :
u = sin (pi4) = raiz22
  • Quando 4 integral0^raiz22 u^3 , du :
Então, nossa integral fica:

Passo 6

Vamos integrar 4 integral0^raiz22 u^3 , du = 4 [ u^44 ]0^raiz22 = [ u^4 ]0^raiz22 :
( raiz22 )^4 - 0^4 = (raiz2)^42^4 = 416 = 14
Agora, substituímos os limites:

Resposta

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