Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, encontre uma função potencial para ele
© F(t) = x^2 y i + 5 x y^2 j
Sol. Não é conservativo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se o campo vetorial é conservativo. Se for, também precisamos encontrar uma função potencial para ele. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e como verificar essa condição.

Passo 2

Primeiro, um campo vetorial é chamado de conservativo se ele puder ser expresso como o gradiente de uma função escalar. Em termos mais simples, isso significa que existe uma função tal que:
Para verificar se é conservativo, vamos usar um critério simples para campos bidimensionais: se as derivadas parciais cruzadas de e forem iguais, ou seja, se , então o campo é conservativo.

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Agora, comparamos as derivadas parciais que calculamos:
Para o campo ser conservativo, essas duas expressões devem ser iguais para todo e . Vamos verificar se isso acontece.

Passo 5

Vamos analisar se para todos os e . Claramente, isso não é verdade em geral. Por exemplo, se e :
Como , concluímos que . Portanto, as condições para que seja conservativo não são satisfeitas.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo.

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