Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, encontre uma função potencial para ele
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Sol. Não é conservativo
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Sol. Não é conservativo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, também precisamos encontrar uma função potencial para ele. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e como verificar essa condição.
Passo 2
Primeiro, um campo vetorial é chamado de conservativo se ele puder ser expresso como o gradiente de uma função escalar. Em termos mais simples, isso significa que existe uma função
tal que:
Para verificar se
é conservativo, vamos usar um critério simples para campos bidimensionais: se as derivadas parciais cruzadas de
e
forem iguais, ou seja, se
, então o campo é conservativo.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Agora, comparamos as derivadas parciais que calculamos:
Para o campo
ser conservativo, essas duas expressões devem ser iguais para todo
e
. Vamos verificar se isso acontece.
Passo 5
Vamos analisar se
para todos os
e
. Claramente, isso não é verdade em geral. Por exemplo, se
e
:
Como
, concluímos que
. Portanto, as condições para que
seja conservativo não são satisfeitas.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo.