Calcule a derivada das seguintes funções
(u) f(t) = sen(2t / (t^4 - 4t))

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Isso envolve conceitos de derivadas de funções compostas e a regra do quociente. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. No nosso caso, temos , onde . A derivada de em relação a é:
Então, precisamos encontrar a derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos calcular onde . Para isso, usamos a regra do quociente, que é útil quando estamos derivando uma fração onde o numerador e o denominador são funções de . A regra do quociente diz:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas de e :
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra do quociente.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar.

Passo 6

Simplificando o numerador:
Portanto, a derivada de fica:

Passo 7

Agora, substituímos na expressão da regra da cadeia:
Podemos reorganizar os termos para deixar a expressão mais clara.

Resposta

A derivada da função é:

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