Calcule a derivada segunda. f(x) = e^x / x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a segunda derivada da função . Estamos no assunto de Cálculo Diferencial, mais especificamente trabalhando com derivadas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Regra do Quociente e depois derivar novamente para achar a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . Para isso, usamos a Regra do Quociente, que diz que se temos uma função , a derivada é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 4

Aplicando a Regra do Quociente:
Então, a primeira derivada é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Precisamos derivar novamente. Podemos simplificar primeiro a expressão:
Agora, aplicamos a Regra do Produto, que diz que se , então:
Aqui, e .

Passo 6

Primeiro, calculamos as derivadas de e :
Para , usamos a Regra do Produto novamente:

Passo 7

Agora, aplicamos a Regra do Produto para :
Vamos simplificar isso:
Combine os termos:
Simplificando mais:

Resposta

A segunda derivada de é:

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