Calcule a derivada segunda.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a segunda derivada da função
. Vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente as regras de derivação como a regra do produto e a derivada da função logaritmo natural. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções básicas e aplicar a regra do produto passo a passo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
. A função
é um produto de duas funções:
e
. Vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
-
então . -
então .
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
derivando
em relação a
. Temos:
A derivada de
é
e a derivada de uma constante
é
.
Passo 6
Portanto, a segunda derivada é:
Resposta
A segunda derivada de
é
.
Exercícios relacionados
Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio-tanque se espalhe em uma forma circular de raio
.
© Se a área cresce a uma velocidade constante de 10 metros quadrados por minuto, com que velocidade o raio do derramamento está crescendo quando a área do derramamento for de 25 metros quadrados?
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.
(b) Se o raio cresce a uma taxa constante de 3 metros por minuto, com que velocidade a área do derramamento está crescendo quando o seu raio for de 30 metros?
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Calcule a derivada segunda.
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