Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio-tanque se espalhe em uma forma circular de raio
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© Se a área cresce a uma velocidade constante de 10 metros quadrados por minuto, com que velocidade o raio do derramamento está crescendo quando a área do derramamento for de 25 metros quadrados?
© Se a área cresce a uma velocidade constante de 10 metros quadrados por minuto, com que velocidade o raio do derramamento está crescendo quando a área do derramamento for de 25 metros quadrados?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o óleo derramado que se espalha formando um círculo. O conteúdo aqui envolve geometria (área de círculos) e um pouquinho de cálculo, especificamente taxas relacionadas. Precisamos descobrir a velocidade com que o raio desse círculo está aumentando quando a área do derramamento atinge 25 metros quadrados, dado que a área está aumentando a uma taxa constante de 10 metros quadrados por minuto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um círculo. A fórmula é:
Onde
é a área e
é o raio.
Passo 3
Como a área está mudando com o tempo, tanto
quanto
são funções do tempo
. Queremos encontrar a taxa de variação do raio em relação ao tempo, ou seja,
.
Passo 4
Para relacionar
e
, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo:
Essa é a aplicação da regra da cadeia na derivada.
Passo 5
Sabemos que
m²/min e queremos encontrar
quando
m². Primeiro, vamos achar o valor de
quando
m².
Passo 6
Agora, substituímos
e
na equação da derivada:
Passo 7
Simplificando a equação:
Passo 8
Isolando
:
Resposta
A velocidade com que o raio está crescendo é
metros por minuto.
Exercícios relacionados
Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio-tanque se espalhe em uma forma circular de raio
.
(b) Se o raio cresce a uma taxa constante de 3 metros por minuto, com que velocidade a área do derramamento está crescendo quando o seu raio for de 30 metros?
(b) Se o raio cresce a uma taxa constante de 3 metros por minuto, com que velocidade a área do derramamento está crescendo quando o seu raio for de 30 metros?
Seja
é derivável em 3 ? Por quê?
Calcule a derivada segunda.
Calcule a derivada segunda.