Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio-tanque se espalhe em uma forma circular de raio r.
© Se a área cresce a uma velocidade constante de 10 metros quadrados por minuto, com que velocidade o raio do derramamento está crescendo quando a área do derramamento for de 25 metros quadrados?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o óleo derramado que se espalha formando um círculo. O conteúdo aqui envolve geometria (área de círculos) e um pouquinho de cálculo, especificamente taxas relacionadas. Precisamos descobrir a velocidade com que o raio desse círculo está aumentando quando a área do derramamento atinge 25 metros quadrados, dado que a área está aumentando a uma taxa constante de 10 metros quadrados por minuto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um círculo. A fórmula é:
Onde é a área e é o raio.

Passo 3

Como a área está mudando com o tempo, tanto quanto são funções do tempo . Queremos encontrar a taxa de variação do raio em relação ao tempo, ou seja, .

Passo 4

Para relacionar e , vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo:
Essa é a aplicação da regra da cadeia na derivada.

Passo 5

Sabemos que m²/min e queremos encontrar quando m². Primeiro, vamos achar o valor de quando m².

Passo 6

Agora, substituímos e na equação da derivada:

Passo 7

Simplificando a equação:

Passo 8

Isolando :

Resposta

A velocidade com que o raio está crescendo é metros por minuto.

Exercícios relacionados

Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio-tanque se espalhe em uma forma circular de raio r.
(b) Se o raio cresce a uma taxa constante de 3 metros por minuto, com que velocidade a área do derramamento está crescendo quando o seu raio for de 30 metros?
Seja f(x) = { -x + 3 se x < 3, x - 3 se x ≥ 3 }
f é derivável em 3 ? Por quê?
Calcule a derivada segunda. y = t ln(t)
Calcule a derivada segunda. f(x) = e^x / x