Calcule a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a segunda derivada da função . Isso pertence ao conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente às regras de derivação como a regra do quociente e a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções que são frações e que têm potências de seno.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente, que diz que se , então:
Aqui, temos:
Vamos derivar usando a regra da cadeia:
E derivar é simples:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão de :
Podemos fatorar no numerador:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Para isso, precisamos derivar . Observe que ainda é uma fração, então vamos novamente usar a regra do quociente.
Vamos chamar:
Primeiro, derivamos :
Simplificando:
Derivamos :
Aplicando a regra do quociente para :
Substituindo e :

Resposta

A segunda derivada da função é:

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