Calcule a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a segunda derivada da função
. Isso pertence ao conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente às regras de derivação como a regra do quociente e a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções que são frações e que têm potências de seno.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente, que diz que se
, então:
Aqui, temos:
Vamos derivar
usando a regra da cadeia:
E derivar
é simples:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão de
:
Podemos fatorar
no numerador:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Para isso, precisamos derivar
. Observe que
ainda é uma fração, então vamos novamente usar a regra do quociente.
Vamos chamar:
Primeiro, derivamos
:
Simplificando:
Derivamos
:
Aplicando a regra do quociente para
:
Substituindo
e
:
Resposta
A segunda derivada da função é:
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