Calcule a derivada. y=tg(sec (cos x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada de . Isso está dentro do conteúdo de Derivadas, mais especificamente usando a Regra da Cadeia. Vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas compostas.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as funções aninhadas. Temos três camadas aqui:
Vamos derivar de dentro para fora usando a Regra da Cadeia.

Passo 3

Começamos derivando a função mais interna: dudx = -sin x .
A derivada de em relação a é:
Isso porque a derivada de é .

Passo 4

Agora, derivamos a função intermediária: dvdu = sec u tan u .
Lembrando que dvdu = sec(cos x) tan(cos x) , a derivada de em relação a é:
Então, substituindo :

Passo 5

Finalmente, derivamos a função externa: dydv = sec^2 v .
A derivada de dydv = sec^2(sec(cos x)) em relação a é:
Substituindo :

Passo 6

Agora, aplicando a Regra da Cadeia completa:
dydx = dydv cdot dvdu cdot dudx
Substituindo as derivadas que calculamos:
dydx = sec^2(sec(cos x)) cdot sec(cos x) tan(cos x) cdot (-sin x)

Resposta

A derivada de dydx = -sec^2(sec(cos x)) cdot sec(cos x) tan(cos x) cdot sin x é:

Exercícios relacionados