Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível. y=arcsen(e^x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para encontrar a derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é fundamental para derivar funções que são compostas por outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável, no caso, . Quando temos uma função composta, como , precisamos aplicar a regra da cadeia para encontrar a derivada.

Passo 3

A regra da cadeia diz que se temos uma função composta , a derivada será . No nosso caso, e . Vamos encontrar as derivadas dessas funções separadamente.

Passo 4

Primeiro, derivamos f'(u) = 1raiz1 - u^2 . A derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, derivamos g'(x) = e^x . A derivada de em relação a �� simplesmente:

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, substituímos dydx = f'(g(x)) cdot g'(x) = 1raiz1 - (e^x)^2 cdot e^x na derivada de e multiplicamos pela derivada de :

Resposta

A derivada da função dydx = e^xraiz1 - e^2x é:

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