Calcule as derivadas das funçōes abaixo.
f(x) = (5*x^2 - x + 3)/(x^3 + 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular a derivada da função . Isso tá relacionado ao estudo de derivadas, especificamente usando a regra do quociente, que é útil quando você tem uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são funções de . Vamos precisar lembrar dessa regra pra resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. No nosso caso:
  • Numerador ( ):
  • Denominador ( ):

Passo 3

A regra do quociente diz que se temos uma função da forma , a derivada é dada por:
Então, vamos precisar calcular as derivadas de e .

Passo 4

Calculando a derivada de :
Aplicando a regra da potência:

Passo 5

Agora, calculando a derivada de :
Aplicando a regra da potência:

Passo 6

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador passo a passo. Primeiro, multiplicando por :
Simplificando:

Passo 8

Agora, multiplicando por :

Passo 9

Subtraindo os dois resultados no numerador:

Passo 10

Agora, colocando tudo junto na fórmula da derivada:

Resposta

A derivada da função é:

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