Calcule as derivadas sucessivas das funções abaixo até a ordem indicada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é a função e a gente precisa calcular as derivadas sucessivas dela até a quarta ordem ( ). Isso significa que vamos encontrar a primeira derivada, a segunda, a terceira e a quarta. Para isso, vamos usar o conceito de derivada do cálculo diferencial, que basicamente nos diz como a função está mudando em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da função . A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em cada ponto da função.
Aplicando a regra do poder para derivadas, temos:
Calculando cada termo:
Então, substituindo:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda derivada. Isso significa que vamos derivar para encontrar .
Novamente, aplicando a regra do poder:
Portanto:

Passo 4

Vamos continuar com a terceira derivada ( ) derivando .
Derivando cada termo:
Assim, temos:

Passo 5

Finalmente, chegamos à quarta derivada ( ) derivando .
Derivando:

Resposta

As derivadas sucessivas da função até a quarta ordem são:

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Calcule as derivadas sucessivas das funções abaixo até a ordem indicada.
Seja .
Calcule:
Campos conservativos.
Integração.