Calcule as derivadas sucessivas das funções abaixo até a ordem
indicada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é a função
e a gente precisa calcular as derivadas sucessivas dela até a quarta ordem (
). Isso significa que vamos encontrar a primeira derivada, a segunda, a terceira e a quarta. Para isso, vamos usar o conceito de derivada do cálculo diferencial, que basicamente nos diz como a função está mudando em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da função
. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em cada ponto da função.
Aplicando a regra do poder para derivadas, temos:
Calculando cada termo:
Então, substituindo:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda derivada. Isso significa que vamos derivar
para encontrar
.
Novamente, aplicando a regra do poder:
Portanto:
Passo 4
Vamos continuar com a terceira derivada (
) derivando
.
Derivando cada termo:
Assim, temos:
Passo 5
Finalmente, chegamos à quarta derivada (
) derivando
.
Derivando:
Resposta
As derivadas sucessivas da função
até a quarta ordem são:
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Calcule as derivadas sucessivas das funções abaixo até a ordem
indicada.
Seja
.
Calcule:
Calcule:
Campos conservativos.
Integração.