Campos conservativos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é sobre Campos Conservativos, que fazem parte do estudo de Cálculo Vetorial. Para resolvermos isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo, como identificar se um campo é conservativo e, se for o caso, encontrar uma função potencial associada a ele.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é considerado conservativo se o trabalho realizado por ele ao longo de qualquer caminho fechado for zero. Isso também significa que o trabalho realizado entre dois pontos não depende do caminho escolhido, mas apenas das posições inicial e final.

Passo 3

Uma característica importante dos campos conservativos é que eles possuem uma função potencial. Isso significa que podemos escrever o campo vetorial como o gradiente de alguma função escalar. Em termos matemáticos, se é um campo conservativo, então existe uma função tal que:

Passo 4

Para verificar se um campo é conservativo, podemos usar o teste da igualdade das derivadas mistas. Em duas dimensões, se o campo vetorial satisfaz:
então o campo é conservativo (desde que o domínio seja simplesmente conexo).

Passo 5

Se confirmarmos que o campo é conservativo, podemos encontrar a função potencial integrando em relação a e em relação a . Vamos supor que temos um campo . Vamos verificar se ele é conservativo:
Calculando
E
Como , o campo é conservativo.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a função potencial . Integramos em relação a :
Onde é uma função de .
Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é constante. Podemos ignorar a constante, então:

Resposta

A função potencial do campo conservativo é .

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