Campos conservativos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é sobre Campos Conservativos, que fazem parte do estudo de Cálculo Vetorial. Para resolvermos isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo, como identificar se um campo é conservativo e, se for o caso, encontrar uma função potencial associada a ele.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é considerado conservativo se o trabalho realizado por ele ao longo de qualquer caminho fechado for zero. Isso também significa que o trabalho realizado entre dois pontos não depende do caminho escolhido, mas apenas das posições inicial e final.
Passo 3
Uma característica importante dos campos conservativos é que eles possuem uma função potencial. Isso significa que podemos escrever o campo vetorial como o gradiente de alguma função escalar. Em termos matemáticos, se
é um campo conservativo, então existe uma função
tal que:
Passo 4
Para verificar se um campo é conservativo, podemos usar o teste da igualdade das derivadas mistas. Em duas dimensões, se o campo vetorial
satisfaz:
então o campo é conservativo (desde que o domínio seja simplesmente conexo).
Passo 5
Se confirmarmos que o campo é conservativo, podemos encontrar a função potencial
integrando
em relação a
e
em relação a
. Vamos supor que temos um campo
. Vamos verificar se ele é conservativo:
Calculando
E
Como
, o campo é conservativo.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Integramos
em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é constante. Podemos ignorar a constante, então:
Resposta
A função potencial do campo conservativo
é
.
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