Calcule detalhadamente o valor do campo magnético resultante B no centro geométrico de um circuito de fio quadrado onde verifica-se a passagem de uma corrente elétrica i por esse circuito.
Dica: calcule o campo separadamente para cada segmento do circuito e leve em consideração o sentido da corrente, e depois some o resultado de cada fio.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um circuito quadrado onde uma corrente elétrica está passando por ele. A pergunta quer saber qual é o valor do campo magnético resultante no centro geométrico desse quadrado. Vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por correntes elétricas. Precisaremos analisar cada lado do quadrado separadamente e depois somar os campos de todos os lados para encontrar o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos focar em um único lado do quadrado. Imagina que temos um fio reto de comprimento B = mu0 i4pi R (sin theta2 - sin theta1) com corrente passando por ele. Queremos calcular o campo magnético gerado por esse fio no ponto central do quadrado. Para isso, usamos a Lei de Biot-Savart, que nos dá a expressão:
Aqui, é a permeabilidade magnética do vácuo, é a distância do fio até o ponto onde estamos calculando o campo, e e são os ângulos que os extremos do fio fazem com a linha que conecta o fio ao ponto central.

Passo 3

No nosso caso, como o ponto central está exatamente no meio do quadrado, a distância B = mu0 i4pi (Lraiz2) (sin 45^circ - sin (-45^circ)) de cada lado até o centro é B = mu0 i raiz24pi L (raiz22 - (-raiz22)) = mu0 i raiz24pi L cdot raiz2 = mu0 i2pi L . Além disso, cada lado do quadrado subtende um ângulo de 45 graus em relação ao centro, ou seja, e . Substituindo esses valores na fórmula:
Sabemos que e , então:
Então, o campo magnético gerado por um lado do quadrado no centro é .

Passo 4

Agora, como temos quatro lados no quadrado, cada um contribuindo com um campo magnético de Btotal = 4 cdot mu0 i2pi L cdot cos 45^circ = 4 cdot mu0 i2pi L cdot raiz22 = 2mu0 i raiz2pi L , precisamos somar esses campos. Porém, é importante considerar a direção de cada campo. Devido à simetria do quadrado, os componentes verticais dos campos se cancelam, e apenas os componentes horizontais se somam. Cada campo de um lado contribui igualmente na direção perpendicular ao lado.
Então, somando os quatro campos:

Resposta

O campo magnético resultante no centro do circuito quadrado é:
B = 2,mu0,i,raiz2pi,L

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