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Instruções:
Resolver na forma de manuscrito detalhando todos os cálculos.
Um engenheiro foi encarregado de projetar um dispositivo no qual um disco uniformemente carregado, de raio , produz um campo elétrico. O módulo do campo é mais importante em um ponto do eixo do disco, a uma distância 2,00R do plano do disco (Fig.a). Para economizar material, decidiu-se substituir o disco por um anel com o mesmo raio externo e um raio interno (Fig.b). O anel tem a mesma densidade superficial de carga que o disco original. Qual é a redução percentual do módulo do campo elétrico no ponto ?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco uniformemente carregado com raio que gera um campo elétrico em um ponto ao longo do eixo do disco, a uma distância de do plano do disco. O engenheiro decide substituir esse disco por um anel que tem o mesmo raio externo e um raio interno de , mantendo a mesma densidade superficial de carga. A pergunta é: qual é a redução percentual no módulo do campo elétrico no ponto após essa substituição?
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico produzido por um disco carregado e por um anel carregado. Usaremos conceitos de eletrostática, especificamente as fórmulas para o campo elétrico no eixo de um disco e de um anel.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico no ponto causado pelo disco original. A fórmula para o campo elétrico no eixo de um disco carregado uniformemente é:
Onde:
é a densidade superficial de carga do disco.
é a permissividade do vácuo.
é a distância do ponto ao plano do disco, que neste caso é .
Substituindo :
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo elétrico no ponto causado pelo anel. O anel tem um raio externo de e um raio interno de , mantendo a mesma densidade superficial de carga .
Para um anel carregado, o campo elétrico no eixo é dado por:
Substituindo :
Simplificando:
Passo 4
Agora temos os campos elétricos do disco e do anel no ponto . Para encontrar a redução percentual, vamos calcular a diferença entre os dois campos e dividir pelo campo original do disco.
Primeiro, vamos reescrever para facilitar a comparação:
Agora, a diferença entre os campos:
No entanto, percebemos que há uma simplificação possível aqui. Vamos considerar a relação direta entre os campos:
A redução percentual é dada por:
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Substituindo e :
çã
Vamos calcular os valores numéricos:
Substituindo:
Agora, a redução percentual:
çã
Isso significa que, na verdade, houve um aumento no campo elétrico, o que não faz sentido físico. Vamos revisar nossos cálculos.
Passo 5
Vamos reavaliar os passos anteriores para encontrar onde erramos.
Ao calcular , devemos considerar que o anel possui uma densidade superficial de carga , mas a área do anel é diferente da área do disco. Portanto, a carga total no anel é menor, o que afeta o campo elétrico.
A área do disco é .
A área do anel é .
Como a densidade superficial de carga é a mesma (), a carga total no anel é .
Portanto, o campo elétrico do anel deve ser proporcional à carga total, ou seja:
Então, a redução percentual é:
çã
Resposta
A redução percentual no módulo do campo elétrico no ponto ao substituir o disco por um anel é de 25%.