Data 23 / 07 / 2024
Instruções:
Resolver na forma de manuscrito detalhando todos os cálculos.
Um engenheiro foi encarregado de projetar um dispositivo no qual um disco uniformemente carregado, de raio R, produz um campo elétrico. O módulo do campo é mais importante em um ponto P do eixo do disco, a uma distância 2,00R do plano do disco (Fig.a). Para economizar material, decidiu-se substituir o disco por um anel com o mesmo raio externo R e um raio interno R / 2,00 (Fig.b). O anel tem a mesma densidade superficial de carga que o disco original. Qual é a redução percentual do módulo do campo elétrico no ponto P ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco uniformemente carregado com raio que gera um campo elétrico em um ponto ao longo do eixo do disco, a uma distância de do plano do disco. O engenheiro decide substituir esse disco por um anel que tem o mesmo raio externo e um raio interno de , mantendo a mesma densidade superficial de carga. A pergunta é: qual é a redução percentual no módulo do campo elétrico no ponto após essa substituição?
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico produzido por um disco carregado e por um anel carregado. Usaremos conceitos de eletrostática, especificamente as fórmulas para o campo elétrico no eixo de um disco e de um anel.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico no ponto Edisco = sigma2varepsilon0 (1 - zraizz^2 + R^2) causado pelo disco original. A fórmula para o campo elétrico Edisco = sigma2varepsilon0 (1 - 2Rraiz(2R)^2 + R^2) = sigma2varepsilon0 (1 - 2Rraiz4R^2 + R^2) = sigma2varepsilon0 (1 - 2Rraiz5R) no eixo de um disco carregado uniformemente é:
Edisco = sigma2varepsilon0 (1 - 2raiz5)
Onde:
  • é a densidade superficial de carga do disco.
  • é a permissividade do vácuo.
  • é a distância do ponto ao plano do disco, que neste caso é .
Substituindo :
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico no ponto Eanel = sigma2varepsilon0 (raizz^2 + R^2 - raizz^2 + (R2)^2) causado pelo anel. O anel tem um raio externo de Eanel = sigma2varepsilon0 (raiz(2R)^2 + R^2 - raiz(2R)^2 + (R2)^2) = sigma2varepsilon0 (raiz5R^2 - raiz4R^2 + R^24) e um raio interno de Eanel = sigma2varepsilon0 (Rraiz5 - Rraiz174) = sigma R2varepsilon0 (raiz5 - raiz172) , mantendo a mesma densidade superficial de carga .
Para um anel carregado, o campo elétrico no eixo é dado por:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 4

Agora temos os campos elétricos do disco e do anel no ponto Edisco = sigma2varepsilon0 (1 - 2raiz5) . Para encontrar a redução percentual, vamos calcular a diferença entre os dois campos e dividir pelo campo original do disco.
Primeiro, vamos reescrever De para facilitar a comparação:
% redução = (1 - EanelEdisco) times 100%
Agora, a diferença entre os campos:
% redução = (1 - raiz5 - raiz1721 - 2raiz5) times 100%
No entanto, percebemos que há uma simplificação possível aqui. Vamos considerar a relação direta entre os campos:
A redução percentual Edisco = sigma2varepsilon0 (1 - 22,236) approx sigma2varepsilon0 (1 - 0,894) approx sigma2varepsilon0 (0,106) é dada por:
Eanel = sigma2varepsilon0 (2,236 - 4,1232) approx sigma2varepsilon0 (2,236 - 2,062) approx sigma2varepsilon0 (0,174) çã
Substituindo % redução = (1 - 0,1740,106) times 100% approx (1 - 1,642) times 100% approx -64,2% e :
çã
Vamos calcular os valores numéricos:
Substituindo:
Agora, a redução percentual:
çã
Isso significa que, na verdade, houve um aumento no campo elétrico, o que não faz sentido físico. Vamos revisar nossos cálculos.

Passo 5

Vamos reavaliar os passos anteriores para encontrar onde erramos.
Ao calcular Eanel = Edisco times QanelQdisco = Edisco times 3pi R^24pi R^2 = Edisco times 34 , devemos considerar que o anel possui uma densidade superficial de carga % redução = (1 - 34) times 100% = 25% , mas a área do anel é diferente da área do disco. Portanto, a carga total no anel é menor, o que afeta o campo elétrico.
A área do disco é .
A área do anel é .
Como a densidade superficial de carga é a mesma ( ), a carga total no anel é .
Portanto, o campo elétrico do anel deve ser proporcional à carga total, ou seja:
Então, a redução percentual é:
çã

Resposta

A redução percentual no módulo do campo elétrico no ponto ao substituir o disco por um anel é de 25%.

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