Com auxílio da lei de Ampère, do Teorema de Stookes, das definições de derivada total e da Lei de Gauss do Campo Elétrico. Prove que (detalhadamente)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para provar a equação do rotacional do campo magnético usando algumas leis importantes da eletromagnetismo. Vamos utilizar a Lei de Ampère, o Teorema de Stokes, as definições de derivada total e a Lei de Gauss para o campo elétrico. Basicamente, vamos conectar essas ideias para chegar na equação final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Ampère-Maxwell na forma integral, que relaciona o campo magnético com a corrente elétrica e a corrente de deslocamento. A fórmula é:
Aqui, é a circulação do campo magnético ao redor da fronteira da superfície , é a corrente elétrica que atravessa , e é a taxa de variação do fluxo elétrico através de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que conecta a circulação de um campo vetorial ao rotacional desse campo sobre a superfície. Aplicando o Teorema de Stokes à Lei de Ampère-Maxwell, temos:
Substituindo na Lei de Ampère-Maxwell:

Passo 4

Para passar da forma integral para a forma diferencial, consideramos que a equação deve ser válida para qualquer superfície . Assim, podemos igualar os integrandos:
Aqui, é a densidade de corrente elétrica, e usamos a definição de corrente de deslocamento .

Passo 5

Vamos substituir a corrente de deslocamento na equação:
E, para deixar a equação no formato solicitado, podemos fatorar :

Resposta

Provas feitas, chegamos à equação desejada:

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Data
Instruções:
Resolver na forma de manuscrito detalhando todos os cálculos.
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