Com auxílio da lei de Ampère, do Teorema de Stookes, das definições de derivada total e da Lei de Gauss do Campo Elétrico. Prove que (detalhadamente)
nabla times B=varepsilon0 mu0 partial Epartial t+mu0 JD

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para provar a equação do rotacional do campo magnético nabla times B = varepsilon0 mu0 partial Epartial t + mu0 JD usando algumas leis importantes da eletromagnetismo. Vamos utilizar a Lei de Ampère, o Teorema de Stokes, as definições de derivada total e a Lei de Gauss para o campo elétrico. Basicamente, vamos conectar essas ideias para chegar na equação final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Ampère-Maxwell na forma integral, que relaciona o campo magnético B com a corrente elétrica e a corrente de deslocamento. A fórmula é:
ointpartial S B cdot dl = mu0 ( Ienc + varepsilon0 dPhiEdt )
Aqui, ointpartial S B cdot dl é a circulação do campo magnético ao redor da fronteira da superfície S, Ienc é a corrente elétrica que atravessa S, e dPhiEdt é a taxa de variação do fluxo elétrico através de S.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que conecta a circulação de um campo vetorial ao rotacional desse campo sobre a superfície. Aplicando o Teorema de Stokes à Lei de Ampère-Maxwell, temos:
ointpartial S B cdot dl = integralS (nabla times B) cdot dS
Substituindo na Lei de Ampère-Maxwell:
integralS (nabla times B) cdot dS = mu0 ( Ienc + varepsilon0 dPhiEdt )

Passo 4

Para passar da forma integral para a forma diferencial, consideramos que a equação deve ser válida para qualquer superfície S. Assim, podemos igualar os integrandos:
nabla times B = mu0 J + mu0 varepsilon0 partial Epartial t
Aqui, J é a densidade de corrente elétrica, e usamos a definição de corrente de deslocamento JD = varepsilon0 partial Epartial t.

Passo 5

Vamos substituir a corrente de deslocamento na equação:
nabla times B = mu0 J + mu0 JD
E, para deixar a equação no formato solicitado, podemos fatorar mu0:
nabla times B = varepsilon0 mu0 partial Epartial t + mu0 JD

Resposta

Provas feitas, chegamos à equação desejada:
nabla times B = varepsilon0 mu0 partial Epartial t + mu0 JD

Exercícios relacionados