Com auxílio da lei de Ampère, do Teorema de Stookes, das definições de derivada total e da Lei de Gauss do Campo Elétrico. Prove que (detalhadamente)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para provar a equação do rotacional do campo magnético
usando algumas leis importantes da eletromagnetismo. Vamos utilizar a Lei de Ampère, o Teorema de Stokes, as definições de derivada total e a Lei de Gauss para o campo elétrico. Basicamente, vamos conectar essas ideias para chegar na equação final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Ampère-Maxwell na forma integral, que relaciona o campo magnético
com a corrente elétrica e a corrente de deslocamento. A fórmula é:
Aqui,
é a circulação do campo magnético ao redor da fronteira da superfície
,
é a corrente elétrica que atravessa
, e
é a taxa de variação do fluxo elétrico através de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que conecta a circulação de um campo vetorial ao rotacional desse campo sobre a superfície. Aplicando o Teorema de Stokes à Lei de Ampère-Maxwell, temos:
Substituindo na Lei de Ampère-Maxwell:
Passo 4
Para passar da forma integral para a forma diferencial, consideramos que a equação deve ser válida para qualquer superfície
. Assim, podemos igualar os integrandos:
Aqui,
é a densidade de corrente elétrica, e usamos a definição de corrente de deslocamento
.
Passo 5
Vamos substituir a corrente de deslocamento na equação:
E, para deixar a equação no formato solicitado, podemos fatorar
:
Resposta
Provas feitas, chegamos à equação desejada: