Calcule determinante
© |cccc2 & -1 & 3 & -4 2 & 1 & -2 & 1 3 & 3 & -5 & 4 5 & 2 & -1 & 4|

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante da matriz 4x4 que foi dada. O determinante é um número que a gente pode calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá várias informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace, mas para matrizes maiores, normalmente usamos a expansão por cofatores ou métodos de redução de linhas para simplificar a matriz. Hoje, vamos seguir o caminho mais simples usando a expansão de cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz 4x4 pode ser calculado expandindo-a em cofatores ao longo de uma linha ou coluna. Vamos escolher a primeira linha para facilitar. A matriz dada é:
2 & -1 & 3 & -4 2 & 1 & -2 & 1 3 & 3 & -5 & 4 5 & 2 & -1 & 4

Passo 3

Vamos calcular o determinante expandindo pela primeira linha. A fórmula para isso é:
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14
Onde é o cofator correspondente a cada elemento . O cofator é calculado como vezes o determinante da matriz menor que resulta da eliminação da i-ésima linha e j-ésima coluna.

Passo 4

Vamos calcular cada cofator:
  1. Para C11 = (-1)^1+1 times 1 & -2 & 1 3 & -5 & 4 2 & -1 & 4 :
C11 = 1 times det 1 & -2 & 1 3 & -5 & 4 2 & -1 & 4
1 times (-5 times 4 - 4 times (-1)) - (-2) times (3 times 4 - 4 times 2) + 1 times (3 times (-1) - (-5) times 2)
Calculando esse determinante 3x3:
= 1 times (-20 + 4) - (-2) times (12 - 8) + 1 times (-3 + 10)
= 1 times (-16) + 2 times 4 + 1 times 7
= -16 + 8 + 7 = -1
C11 = -1
C12 = (-1)^1+2 times 2 & -2 & 1 3 & -5 & 4 5 & -1 & 4
  1. Para C12 = -1 times det 2 & -2 & 1 3 & -5 & 4 5 & -1 & 4 :
2 times (-5 times 4 - 4 times (-1)) - (-2) times (3 times 4 - 4 times 5) + 1 times (3 times (-1) - (-5) times 5)
= 2 times (-20 + 4) + 2 times (12 - 20) + 1 times (-3 + 25)
Calculando esse determinante:
= 2 times (-16) + 2 times (-8) + 1 times 22
= -32 -16 + 22 = -26
C12 = -1 times (-26) = 26
C13 = (-1)^1+3 times 2 & 1 & 1 3 & 3 & 4 5 & 2 & 4
C13 = 1 times det 2 & 1 & 1 3 & 3 & 4 5 & 2 & 4
  1. Para 2 times (3 times 4 - 4 times 2) - 1 times (3 times 4 - 4 times 5) + 1 times (3 times 2 - 3 times 5) :
= 2 times (12 - 8) - 1 times (12 - 20) + 1 times (6 - 15)
= 2 times 4 + 8 + (-9)
Calculando esse determinante:
= 8 + 8 - 9 = 7
C13 = 7
C14 = (-1)^1+4 times 2 & 1 & -2 3 & 3 & -5 5 & 2 & -1
C14 = -1 times det 2 & 1 & -2 3 & 3 & -5 5 & 2 & -1
2 times (3 times (-1) - (-5) times 2) - 1 times (3 times (-1) - (-5) times 5) + (-2) times (3 times 2 - 3 times 5)
  1. Para = 2 times (-3 + 10) - 1 times (-3 + 25) - 2 times (6 - 15) :
= 2 times 7 - 1 times 22 - 2 times (-9)
Calculando esse determinante:
= 14 - 22 + 18 = 10
C14 = -1 times 10 = -10

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do determinante:
det(A) = 2 times (-1) + (-1) times 26 + 3 times 7 + (-4) times (-10)
Calculando cada termo:
= -2 -26 + 21 + 40
Somando tudo:
= (-2 -26) + (21 + 40) = -28 + 61 = 33

Resposta

O determinante da matriz é .

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