Verificar se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial
:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de quatro matrizes
chamadas
e precisamos verificar se essas matrizes conseguem gerar todo o espaço vetorial das matrizes
com números reais, conhecido como
. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e dependência linear.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
é o espaço de todas as matrizes
com entradas reais. Esse espaço tem dimensão 4, ou seja, precisamos de quatro matrizes que sejam linearmente independentes para gerar todo o espaço. Se as quatro matrizes dadas forem linearmente independentes, elas irão gerar
.
Passo 3
Vamos verificar se as matrizes dadas são linearmente independentes. Para isso, montamos uma combinação linear dessas matrizes igual a zero e vemos se a única solução possível é que todos os coeficientes dessa combinação sejam zero.
As matrizes dadas são:
Então, queremos encontrar se existe algum conjunto de números reais
tal que:
Passo 4
Vamos escrever essa combinação linear:
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
-
(da posição [1,1]) -
(da posição [1,2]) -
(da posição [2,1]) -
(da posição [2,2])
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema:
- Da equação 2:
- Da equação 3:
- Da equação 1:
Substituindo
e
na equação 4:
Essa última equação é sempre verdadeira, o que significa que temos infinitas soluções para os coeficientes
. Portanto, as matrizes são linearmente dependentes.
Passo 6
Como as quatro matrizes são linearmente dependentes, isso significa que não conseguimos usar essas matrizes para gerar todo o espaço
. Precisamos de quatro matrizes linearmente independentes para gerar esse espaço, e como não temos isso, as matrizes dadas não são suficientes.
Resposta
As matrizes dadas não geram o espaço vetorial
.