Verificar se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial M2(R) :
S=(ll 1 & 0 0 & 1 ),(ll 1 & 1 0 & 0 ),(ll 0 & 0 1 & 1 ),(ll 0 & 1 2 & 1 )

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de quatro matrizes chamadas e precisamos verificar se essas matrizes conseguem gerar todo o espaço vetorial das matrizes com números reais, conhecido como . Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, sabemos que é o espaço de todas as matrizes com entradas reais. Esse espaço tem dimensão 4, ou seja, precisamos de quatro matrizes que sejam linearmente independentes para gerar todo o espaço. Se as quatro matrizes dadas forem linearmente independentes, elas irão gerar .

Passo 3

Vamos verificar se as matrizes dadas são linearmente independentes. Para isso, montamos uma combinação linear dessas matrizes igual a zero e vemos se a única solução possível é que todos os coeficientes dessa combinação sejam zero.
As matrizes dadas são:
S1 = 1 & 0 0 & 1, S2 = 1 & 1 0 & 0, S3 = 0 & 0 1 & 1, S4 = 0 & 1 2 & 1
Então, queremos encontrar se existe algum conjunto de números reais c1S1 + c2S2 + c3S3 + c4S4 = 0 tal que:

Passo 4

Vamos escrever essa combinação linear:
c1 1 & 0 0 & 1 + c2 1 & 1 0 & 0 + c3 0 & 0 1 & 1 + c4 0 & 1 2 & 1 = 0 & 0 0 & 0
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
  1. (da posição [1,1])
  2. (da posição [1,2])
  3. (da posição [2,1])
  4. (da posição [2,2])

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema:
  • Da equação 2: c4 + (-2c4) + c4 = 0 (1 - 2 + 1)c4 = 0 0 = 0
  • Da equação 3:
  • Da equação 1:
Substituindo e na equação 4:
Essa última equação é sempre verdadeira, o que significa que temos infinitas soluções para os coeficientes . Portanto, as matrizes são linearmente dependentes.

Passo 6

Como as quatro matrizes são linearmente dependentes, isso significa que não conseguimos usar essas matrizes para gerar todo o espaço . Precisamos de quatro matrizes linearmente independentes para gerar esse espaço, e como não temos isso, as matrizes dadas não são suficientes.

Resposta

As matrizes dadas não geram o espaço vetorial .

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